Как выучить математику с нуля

Мы использовали его в нашем классе вводных доказательств в бакалавриате, и он поможет вам пройти путь от базовой логики до вводного анализа.

Это не совсем тот вопрос, который вы задали, но “Классическая теория множеств для самостоятельного изучения” Дерека Голдрея – отличное самостоятельное введение в ЗФК, которая является формальной основой любой другой математики, о которой вы будете читать. Я думаю, что первые главы достаточно просты, чтобы стать хорошей практикой для чтения и написания доказательств (хотя я столкнулся с этим только после того, как у меня уже был некоторый опыт в этом. Тем не менее, я считаю, что это исключительно хорошая книга для самостоятельного изучения.)

В доказательствах, я также думаю, есть три уровня:

1. Как я делаю логические выводы из предпосылок. Это самая простая часть.

2. Какие хитроумные приемы используют математики для этого (например, построение неинтуитивных контрпримеров, нахождение эквивалентности между двумя, казалось бы, несовместимыми вещами и т.д.). Это требует чтения других доказательств и более медленный процесс, но может быть очень увлекательным, если вы любите математику и находите умные доказательства красивыми.

3. Поиск правильных английских слов и фраз для передачи логики, которую вы имеете в виду (язык, используемый в доказательствах, не является обычным английским, и у него есть свои особенности и условности. Как и другие математические обозначения, он часто специфичен для определенных областей математики, а иногда и для конкретного автора). Это также требует чтения доказательств, я думаю, и именно здесь больше всего пользы от формального обучения (“как мне сказать X в моем доказательстве?”), но я думаю, что вы можете добиться этого самостоятельно при некотором упорстве. Это не клингонский язык – доказательства должны быть читабельными, но это немного похоже на код, возможно, или юридический язык. Если вы просто пытаетесь писать красивой прозой, другие математики могут счесть ее запутанной или нестрогой.

Бывает полезно разделять эти три понятия. В частности, когда я изучаю новую область математики, доказательства иногда сразу не кажутся мне строгими, но как только я привыкаю к основам и языковым условностям, я могу заполнить дыры в своей голове.

> В частности, при изучении новой области математики доказательства иногда не сразу кажутся мне строгими, но когда я привыкаю к основам и лингвистическим условностям, я могу заполнить дыры в своей голове.

Самыми сложными доказательствами, которыми я занимался, были доказательства сходимости алгоритмов, но я сталкивался с различными типами доказательств на нескольких вводных курсах: вычислимость и теория вычислений, дискретная математика, введение в высшую математику, а затем на некоторых курсах по высшей математике в Ai/ml.

То, что вы здесь говорите, абсолютно верно для меня. Как человек, пришедший в университет с большим опытом работы с кодом и компьютерами, я всегда обнаруживал, что хочу применить в математических доказательствах ту же однозначность и точность, которую используют для выражения вычислений на языке программирования. Это стало для меня огромным камнем преткновения! Доказательства пишутся в сокращении (!) людьми для других людей, которые имеют те же базовые знания, очевидные вещи опускаются. как только у вас есть эти знания, все становится понятным, но до этого кажется, что делаются гигантские скачки без строгой линии рассуждений между ними.

отвечая на вопрос оппа: “Введение в математические рассуждения” Питера Экклза было полезным для меня. Это, по сути, расширенная версия того, что вы найдете в начале многих вводных курсов по математике. Другой вариант, если множества, теория чисел и тому подобное вас смущают – это угол зрения вычислимости (теория вычислений, computation). Лично я нашел этот материал гораздо более легким для рассуждений, которые затем вменяют уверенность, которая действительно является волшебным ингредиентом для хороших доказательств.

Я думаю, что если вы хотите уйти от “доказательств, написанных в сокращении людьми для других людей”, то вы говорите о формальной проверке доказательств. Итак, вы говорите о чем-то вроде того, как сделать ваши доказательства понятными для Coq или Isabelle, или, возможно, прочитать, как это сделали другие: вы можете начать с .

Я студент математического бакалавриата. Как уже было сказано в другом комментарии, мы действительно начинаем изучать доказательства в Analysis I (вводный курс линейной алгебры в моей школе не был насыщен доказательствами), но до этого, по крайней мере в моей школе, мы проходим Intro to math I и Intro to math II, я не могу порекомендовать вам книгу, но темы, которые там рассматриваются, обычно включают в себя базовую теорию множеств, правила логического вывода и индукции. Для анализа I мой преподаватель использовал книгу Рудина, однако я не думаю, что это хорошая книга для самостоятельного изучения (я немного предвзят, поскольку мне действительно трудно дается Рудин). Две книги, которые являются более мягким введением в анализ, – это “Элементарный анализ” Кеннета А. Росса и “Понимание анализа” Эббота.

Вот некоторая помощь с малышом Рудином:

Он хочет добраться до интеграла Римана, то есть до простейшей версии обычного интегрирования в первом исчислении. Затем он хочет сделать расширение интеграла Римана по Штильтейсу.

Итак, он хочет проинтегрировать функцию одной вещественной переменной – он хочет, чтобы это было просто и элементарно.

Для этого он хочет тщательно описать свойства функции, которую он хочет предположить и использовать. Опять же, он идет на простые вещи:

Во-вторых, он хочет, чтобы функция f была непрерывной на этом замкнутом интервале.

Значит, ему нужно определить непрерывность. И что самое волшебное в замкнутом интервале [a,b], так это то, что он компактен. Поэтому он хочет определить компактность.

Затем с помощью continuous и compact он показывает, что функция не просто непрерывна, но и равномерно непрерывна, а это важнейшее, центральное, ключевое свойство функции f, которое позволяет легко определить интеграл Римана, показать, что интеграл существует, и установить его основные свойства.

Итак, Рудин отправляется в небольшое путешествие, чтобы понять, что такое замкнутость, непрерывность, компактность и равномерная непрерывность. Кроме того, в случае с вещественными числами он использует свойство полноты – рациональные числа не полны и не работают; ему нужны вещественные! Это полезно знать. Полнота также обобщается, например, является ключевым свойством для гильбертова пространства и банахова пространства.

Теперь он хочет дать вам немного больше за ваши деньги, усилия, время и т.д.: эти понятия полноты, замкнутости,

И хотя его функция f имеет только одну вещественную переменную, он немного обобщает, берет целое положительное число n и множество вещественных чисел R, и рассматривает евклидово n-пространство R^n. Затем он доказывает, что в R^n множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Чертовски полезно знать! А доказательство несложно и заслуживает понимания. Я использовал этот результат в опубликованной мной работе о некоторых действительно сложных аспектах условий Куна-Таккера. Моя кафедра была под впечатлением, и это облегчило мне путь к докторской степени.

Компактность: (A) Каждое бесконечное подмножество имеет предельную точку. (B) Каждое открытое подмножество имеет конечное подмножество. Компактность через (A) и (B) настолько хороша, что она почти так же хорошо себя ведет, как только конечное число точек, и обобщается чрезвычайно широко.

Вещественная непрерывная функция с компактной областью вынуждена быть достаточно хорошо управляемой – в частности, для того, чтобы интеграл Римана было легко развить.

Тогда равномерно непрерывная говорит, что если мы выберем тонкое разбиение на оси X (область функции f), то полученное разбиение на оси Y (область действия функции f) также будет тонким – таким образом, поскольку мы делаем разбиение тонким на оси X, мы можем быть уверены, что разбиение на оси Y будет настолько тонким, насколько мы захотим, что означает, что с полнотой конечные суммы Римана сходятся и наш интеграл Римана определен.

Итак, полнота, замкнутость, ограниченность, компактность, непрерывность, равномерная непрерывность – не очень сложно и заслуживает понимания.

Затем он переходит к основам бесконечных последовательностей и рядов, достаточным для определения логарифмов, экспоненты и тригонометрических функций.

Рудин особенно хорош в теории Фурье, и там, в книге “Малыш”, Рудин дает солидную трактовку рядов Фурье. Полезно знать. Конечно же, сначала вы увидите связи с органной, флейтовой и скрипичной музыкой.

Насколько я знаю, он сделал теоремы об обратной и неявной функции – центральные в множителях Лагранжа и дифференциальной геометрии.

И он показал, что в более общем случае интеграл Римана существует тогда и только тогда, когда функция непрерывна везде, кроме множества нулевой меры – так что он затрагивает теорию меры.

Где-то вы должны увидеть хорошее доказательство правила Лейбница (дифференцирование под знаком интеграла).

Теперь, когда вы видите интеграл Римана, подход Лебесга лучше: Лебесга разделяет по оси Y. Оказывается, для обработки патологических случаев это работает гораздо лучше. Он также хорошо обобщается и, в частности, является отличным фундаментом для теории вероятностей. То есть, ожидание в вероятности – это просто интеграл Лебега. Очень хорошо.

Развитие интеграла Лебесга Рудиным в его “Вещественном и комплексном анализе” очень хорошо. Изложение Ройдена читается немного легче. Прочитайте их оба. И там же у Рудина есть очень хорошие главы о преобразовании Фурье, банаховом пространстве и гильбертовом пространстве. Прочитайте эти три главы и, очевидно, на протяжении всей вашей карьеры вы будете опережать почти всех в физике, химии и инженерии. Например, посмотрите, как принцип неопределенности Гейзенберга, каким бы он ни был.

Если вы все еще хотите мягкого введения в доказательства, но предпочитаете, чтобы автор использовал более серьезный тон, как в традиционных учебниках, я рекомендую “Доказательство и искусство математики” Джоэла Хэмкинса. https://www.amazon.com/dp/0262539799.

Я нахожусь на сервере Discord по изучению математики, который ведет парень с докторской степенью, где все работают над книгами по математике, рекомендованными им, решают упражнения и выкладывают решения для проверки. Конечно, вы всегда можете задавать вопросы.

Вся математика основана на доказательствах, поэтому мы начинаем с книг, которые учат именно этому: составлению доказательств, основам логики и теории множеств. Затем вы можете разветвляться и изучать то, что вам нравится. Каждый человек идет в своем собственном темпе.

Единственное, что вам придется приложить много усилий для самообучения; серебряной пули не существует, независимо от того, знаете вы доказательства или нет.

Если вы хотите присоединиться, вы можете написать u/CheapViolin на Reddit.

Я тоже на этом сервере. Честно говоря, это лучшее место, с одной оговоркой, что вы должны быть серьезно настроены. Я прошел доказательства, базовую алгебру, базовый анализ, линейную алгебру, метрические пространства, а сейчас углубленно занимаюсь теорией колец, статистикой и теорией множеств, все под руководством доктора философии, и это буквально на вес золота.

Я получил массу удовольствия, проходя курс incredible.pm/, который представляет собой геймифицированное написание доказательств теории множеств. В курсе Software Foundations[0] вас также научат пользоваться помощником доказательства Coq и писать доказательства в нем, что я нашел увлекательным. Я думаю о решении доказательств как о манипулировании символами от A к B с доказательством того, что каждое промежуточное преобразование корректно и правильно.

Как правило, прежде чем человек дойдет до понимания того, как доказывать, происходит изрядное количество промывания мозгов. Например, мало кто знает, почему действует распределительное свойство, но они постоянно его используют. Большинство людей спокойно относятся к тому, что отрицательное действительное число, умноженное на положительное действительное число, является отрицательным действительным числом, но не могут это доказать. Для того чтобы доказать эти основные факты, необходимо обладать изрядной долей того, что называется математической зрелостью.

Самым базовым предметом для понимания математических доказательств является евклидова геометрия. Там вы узнаете основы доказательств и что значит доказать что-то.

Давайте рассмотрим уравнение x/a = b/c. Вы хотите показать, что это уравнение имеет такой же точный набор решений, как и xc = ab. Для того чтобы доказать это строго, вам нужно будет доказать ассоциативность. Также нужно доказать, что единица не является делителем нуля в вещественных числах. Мы видим, что для доказательства, казалось бы, простых утверждений требуется определенный механизм, а для понимания необходимости этого механизма требуется математическая зрелость.

Но, возможно, вы не хотите строго доказывать вышесказанное. Может быть, вы просто хотите понять, почему правдоподобно, что это так. Для этого возьмите учебник по алгебре и действительно прочитайте то, что там написано, и попытайтесь понять это. Это трудно сделать самостоятельно.

Вот правдоподобное объяснение того, почему x/a = b/c имеет тот же набор решений, что и

Я могу переставить все местами (по ассоциативности), чтобы записать это как

Теперь умножьте обе стороны на c, чтобы получить (я пропустил шаг, умножая и упрощая одновременно)

+1 для евклидовой геометрии. Как только вы “докажете”, что можете найти угол B и C, зная угол A, это будет очень интересный опыт. Вот почему это подчеркивается в геометрии средней школы.

Я не согласен относительно евклидовой геометрии. Евклид никогда не проводит доказательств по индукции, что само по себе достаточно, чтобы дисквалифицировать Евклида как хорошее введение в доказательство.

Вам нужна книга, которая сочетает введение в логику с кучей различных доказательств из разных областей математики, таких как аксиомы множеств, отношения, функции, последовательности, построение действительных чисел и т.д. Таких книг много, вот одна из них, которая включает все это плюс немного теории чисел и алгебры в конце: .

f(x)=f(y) может сделать довольно много работы, учитывая, что вы вольны выбрать любое удобное f и затем подставить его тело.

Спасибо вам за это. Это полезно. Полагаю, мой следующий вопрос – как мне достичь математической зрелости наиболее эффективно?

Одна вещь, которая очень помогает, – это тщательность. Постарайтесь понять как можно лучше, попытайтесь заполнить недостающие шаги и детали, убедитесь, что сам текст действительно ясен и правилен и ничего не упущено. Попробуйте предположить, как может начинаться доказательство, прежде чем смотреть на него.

Similarly forall f x=y =>Расширение кругозора также очень поможет. Вводная абстрактная алгебра (группы, кольца, векторные пространства), на мой взгляд, была бы хорошим следующим шагом, потому что там у вас будут наборы аксиом и множество доказательств, и вы узнаете о таких свойствах, как коммутативность, ассоциативность, инверсии и тождества в более абстрактном и общем виде.

Я знаю, как делать начальную алгебру и геометрию, но я не всегда знаю, почему различные методы заучивания работают. Так что я начинающий в том, что касается интуиции. Но я также начинающий в технике таких вещей, как линейная алгебра и исчисление, которые я вообще никогда не изучал.

Есть книга под названием “Number, Shape, & Symmetry”. Вы можете скачать ее на сайте z-lib.org. Это книга, которая даст вам представление о математике и докажет некоторые основные алгебраические свойства. Она не требует знания математики, но требует желания понять. Читать математику и понимать – это целое искусство. Я рекомендую эту книгу, а также использование репетитора или сайта math.stackexchange.com.

Многие студенты начинают изучать доказательства в курсе анализа 1 или линейной алгебры. Самая педагогически дружелюбная книга, которую я видел для этого, – “Анализ 1” Теренса Тао.

Момент, который стал для меня решающим, произошел, когда профессор сказал нам, что существует всего несколько способов доказательства теорем и все.

Когда вы выполняете перекрестное умножение, вы опираетесь на основное тождество: если ab = ac, то либо b = c, либо a = 0.

Итак, вы хотите доказать, что это умножение с обеих сторон верно?

Это то, что очень близко к фундаментальным аксиомам арифметики (аксиомам Пеано).

Чтобы доказать это, нужно

Один из способов, которым мы можем это сделать, – доказательство через противоречие. Предположите ab ≠ ac и покажите, что должно быть b ≠ c, не прибегая к умножению обеих сторон. (Это было бы постановкой вопроса: предположить то, что вы пытаетесь доказать; вы никогда не должны предполагать истинность правила, которое вы пытаетесь доказать).

Таким образом, если мы предположим, что b = c, но при этом ab ≠ ac, мы получим противоречие: b ≠ c. Что-то должно измениться, если мы хотим сохранить b = c, а именно ab = ac.

Мы опирались на некоторые существующие правила, например, на возможность прибавлять одинаковое количество к обеим сторонам, но мы не умножали обе стороны неравенства на один и тот же коэффициент; мы опирались на вывод, используя распределительное свойство для перестановки разности произведений ab – ac в форму произведения a(b – c). Если произведение XY ненулевое, то Y должно быть ненулевым, как и X; если любое из них нулевое, то оно становится жертвой правила 0x = 0: ноль, умноженный на что-либо, равен нулю.

Независимо от того, какой текст вы выберете, я рекомендую написать доказательства (полные предложения и все остальное) для тех решений, которые дались вам труднее, или вы чувствуете трудности с ясным изложением. И если сможете, получите обратную связь по доказательствам. (Буду рад взглянуть на несколько, если вы напишете мне).

Процесс написания, надеюсь, поможет вам:

Что касается книг, моими личными фаворитами были “Стратегии решения проблем” (Энгель) и “Искусство и мастерство решения проблем” (Зейц). Они обе очень доступные, в них много примеров, и они позволят вам взглянуть на математику с другой стороны.

Уравнение x/a = b/c имеет эквивалентные дроби по обе стороны от знака “равно”. Эквивалентные дроби можно получить, умножая или деля числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число.

Возьмите квадрат, состоящий из равных частей, причем часть x заштрихована. Он представляет собой x/a .

Вы можете разделить весь квадрат по-другому, но сохранить ту же площадь. Этот квадрат имеет c равных частей, причем b частей заштриховано. Он представляет собой b/c .

Произведение можно представить и с помощью умножения и деления.

Возьмем, например, 6/12 . Разделите числитель и знаменатель на 3. Вы получите эквивалентную дробь 2/4 .

Площадь при этом не меняется. Надеюсь, это имеет смысл.

Для меня Coq – автоматический помощник по доказательству – был тем, что нужно. Можно считать это игрой, в которой вы пытаетесь что-то доказать. И он светится зеленым цветом и говорит “ОК”, когда вы правы. Если вы просто делаете это на бумаге, вы никогда не будете уверены в том, что вы правы.

Для меня книга, которая изменила мой взгляд на доказательства, была : “Доказательства из КНИГИ” Мартина Айгнера и Гюнтера М. Циглера. Я всегда думал, что доказательства – это лишь средство достижения цели, но эта книга показала мне, что доказательства могут быть интереснее конечного результата. Книга начинается с шести доказательств бесконечности простых чисел, и вы можете читать ее в любом порядке. В ней содержатся одни из самых элегантных доказательств математических теорем.

Книга “Доказательства” Хаммока – это мягкое введение. Как уже говорили другие, вам, скорее всего, придется углубиться в историю, и в этом случае в Академии Кана есть отличные видеоролики, а в Массачусетском технологическом институте есть OpenCourseWare, который представляет собой

На уровне колледжа иногда можно встретить разделение на курсы “Чистая математика” и “Прикладная математика”. На занятиях по чистой математике основное внимание уделяется доказательствам. В прикладной математике, хотя доказательства используются по мере необходимости, акцент делается на приобретении интуиции о том, как математика работает, когда она связана с физическим миром. Я нахожу такой подход более удовлетворительным и полезным. Доказательства – не единственный и не самый лучший способ “постичь глубинные принципы”.

Доказательства могут быть очень красивыми – я их не осуждаю, – но есть и другие пути развития математических знаний, которые позволяют избежать ловушки заучивания.

Например, я знаю такие вещи, как (a^b)^c = a^bc, и что я могу решить x в x/a = b/c путем перекрестного умножения так, чтобы xc = ab, но я не могу доказать ни одну из этих вещей.

На самом деле это довольно сложно. Не потому, что доказательство трудно, как это ни удивительно, а потому, что вам нужно жесткое представление о том, что именно вы пытаетесь доказать. Это и есть самое сложное. Чем ближе вы подходите к основам, тем глубже кроличья нора. В конце концов вы приходите к аксиоматизации алгебры, математической логике, формальным доказательствам и различным формальным моделям.

Так что _может_ начать с чего-то менее абстрактного. Какие-то задачи, не связанные ни с алгеброй, ни с геометрией, чтобы вы могли развить интуицию в отношении того, что такое доказательство и как увидеть в нем дыры. После этого вы можете попробовать добавлять все больше и больше жесткости к тем вещам, с которыми вы знакомы.

У Сьюзен Фаулер есть руководство по изучению математики, раздел 2 – “Введение в доказательства”. Она предлагает книгу “Как доказать: Структурированный подход” Даниэля Дж. Веллемана.

Как человек, интересующийся формальными системами доказательств, я не уверен, что это хорошая идея – начинать с этого, если вам все еще нужно усвоить элементарные понятия. Это действительно технический материал. Это все равно что работать над продвинутым оптимизирующим компилятором, когда вы все еще учитесь использовать цикл for.

Потратьте время на механику (понимание и написание полных доказательств) и потратьте немного времени на интуицию (почему это важно, примеры и контрпримеры).

Если вы будете продолжать делать это, вы соберете целую библиотеку примеров и контрпримеров для различных утверждений и получите представление о том, как можно подойти к любой проблеме (схожей сложности).

Начните с любой книги по реальному анализу I и алгебре I и постарайтесь понять каждую часть – не пропускайте главы, просто работайте в своем собственном темпе. Со временем ваш темп улучшится, это гарантировано.

>И продолжайте делать то же самое – разбирайте доказательства, упражнения, примеры и контрпримеры. Перечитывайте старые и т.д.

Многие знания по математике – это идеальное или почти идеальное понимание основных принципов.

* Doing Mathematics: An Introduction to Proofs and Problem-Solving by Steven Galovich.

Эта книга является расширением первых двух глав его предыдущей книги;

* “Введение в математические структуры” Стивена Галовича.

Мне очень понравилась “книга по абстрактной алгебре” в качестве первого шага к изучению более продвинутых тем. Она

На самом деле, естественный ответ на вопрос “как мне научиться доказывать” или “как мне понять математические обозначения” заключается в том, что вы делаете это, изучая математику. В математике важно, например, видеть, как вещи связаны между собой, и именно в этом помогают доказательства. Без этого математика превращается в бесполезную коллекцию фактов – бесполезную, потому что отдельный факт или формула редко могут быть использованы как таковые.

Я думаю, нужно понять, что существуют общие схемы доказательства вещей, которые почти не зависят от того, что вы пытаетесь доказать. Как только вы усвоите их, это даст вам набор подходов к доказательству. Например, вы должны попытаться понять, что подразумевается под прямым доказательством, доказательством через противоречие, доказательством по индукции, доказательством через противопоставление и т.д. Если вы сможете найти хорошую книгу, в которой обсуждаются эти виды схем и даются практические вопросы для их применения с достаточно базовыми математическими понятиями, это может действительно помочь (и если ничто другое не поможет, то действительно улучшит скорость, с которой вы понимаете другие доказательства).

Многие рекомендуют учиться писать доказательства в контексте занятий или учебника, посвященного другой теме, например, геометрии, линейной алгебре, реальному анализу или абстрактной алгебре. Но я предпочел учиться по книге, которая была более ориентирована на доказательства и добавляла контекст по ходу обучения. Вот текст, по которому я учился писать доказательства, и который я очень рекомендую: .

Если вам не хватает фундаментальных знаний по алгебре или другой математике на уровне средней школы, вам стоит освежить их. Вы можете сделать это через Академию Хана ).

Курс по доказательству, который я проходил, в основном начинался с примеров из теории чисел, чтобы студенты могли сосредоточиться на механике написания доказательств. Этот курс, похоже, заменил книгу, которую я использовал (Mathematical Proofs: A Transition to Advanced Mathematics Book by Albert D. Polimeni, Gary Chartrand, and Ping Zhang) этой свободно доступной книгой .

rhammack/BookOfProof/Main.pdf. Этот курс был предварительным условием для изучения анализа, алгебры и других курсов верхнего уровня по математике, основанных на доказательствах.

Самое главное – проработать примеры в главах и решить упражнения в конце книги. В наши дни вы обычно можете найти в Интернете конспекты лекций, наборы задач и решения заданий. Если у вас возникли проблемы с материалом, то, скорее всего, они возникли у кого-то другого, поэтому велика вероятность, что ваш вопрос уже был задан на Reddit или других форумах, посвященных математике.

Если вас больше интересует математика в применении к информатике, то вы можете поискать книгу по дискретной математике. Единственная книга по дискретной математике, с которой я знаком, не дает четкого представления о том, что вы изучаете методы доказательства, как это делают вышеупомянутые книги, поэтому я не могу рекомендовать ее в качестве первой книги для самостоятельного изучения.

Последовательность тем, изучаемых в курсе из “Книги доказательств” Хаммака: – Множества и основные определения: 1.1 – Логика: 2.1, 2.2, 2.3 – Доказательства: 4.1,

Важно получать отзывы о своих доказательствах, поэтому стоит научиться использовать Lyx – редактор LaTeX – как только вы освоите LaTeX, вы можете задавать вопросы на math.stackexchange.com, и люди обычно рады помочь.

Есть очень полезный сайт, где вы можете доказывать эти основные понятия одно за другим, они сделали из этого небольшую игру, чтобы показать базовое программное обеспечение, это leanprover: .

buzzard/xena/natural_number_g.

Путешествие в математику: An Introduction to Proofs (Dover Books on Mathematics) https://a.co/d/csM8jRd.~Я, кажется, помню, что по своему дизайну она не требует углубленного изучения математики, чтобы начать строить доказательства. Удачи!

Есть сайт, где вы можете доказывать эти вещи одну за другой, они сделали из этого небольшую игру, используя программу leanprover. Очень рекомендую!

buzzard/xena/natural_number_g.

Если вы любите Coursera / видеолекции, этот цикл лекций подходит под определение “чрезвычайно мягкое введение в написание доказательств”: https://www.coursera.org/learn/mathematical-thinking.

Есть много книг, которые посвящены именно этому. Посмотрите такие названия, как https://www.amazon.com/Book-Proof-Richard-Hammack/dp/0989472. .

“Доказательства из книги” – отличная (и, IMO, забавная) книга. Канал 3Blue1Brown на YouTube также замечательный.~Вы не только научитесь доказывать правильность программ, но и получите глубокое понимание того, что такое математика на самом деле.

Написание доказательств похоже на решение лабиринта. Вы знаете, где хотите оказаться, у вас есть аксиомы и гипотезы. Чем больше у вас будет опыта, тем лучше вы будете понимать, в правильном ли направлении вы идете. Но все равно вы будете заходить в тупики.

Многие люди знакомятся с ней на уроках линейной алгебры, что является ужасным способом ее изучения. Вам нужна такая книга, как “Доказательства и основы” Итана Блоха.

Шаг 1. Прочитайте учебник под названием “ForallX”. Шаг 2. Я не знаю, каким должен быть шаг 2. Возможно, шага 1 будет достаточно.~Вы не только научитесь доказывать правильность программ, но и получите глубокое понимание того, что такое математика на самом деле.

xa/a = ba/c; a ≠ 0

x = ba/c; a ≠ 0

Учебник “Как это доказать” Веллемана, на мой взгляд, является лучшим введением в обучение чтению и написанию доказательств.

Похожие, но не совсем совпадающие рекомендации: Искусство написания разумных механизмов органических реакций.

Освойте прекалькулус, делая упор на концептуальное понимание и вычисления. Это основа.

Возможно, вы захотите прочитать книгу “В математике есть нечто большее, чем строгость и доказательства” Терри Тао.

Форматирование здесь неправильное? Потому что это не тождество.

Это часть свойств системы действительных чисел. Эти свойства также применимы к комплексным числам и некоторым несколько странным системам чисел, например, целым числам по модулю простого числа. Поскольку свойства справедливы для вещественных чисел, они также справедливы для подмножеств вещественных чисел, таких как рациональные, целые и натуральные числа.

Вот как это происходит: Тысячи лет назад люди могли проверить на простых примерах, что

Итак, тысячи лет назад, возможно, было

для вещественных чисел заключается в том, что мы определили вещественные числа так, что то, что мы получаем, похоже на числа, с которыми люди работали 1000+ лет назад, а также обладает, согласно некоторым доказательствам, свойствами, которые они наблюдали и которые мы хотим доказать.

В доказательствах излюбленным инструментом является математическая индукция. Итак, предположим, что A – непустое множество. Предположим, что 1 является элементом A. Предположим, что для каждого n в A n + 1 также находится в A. Тогда из A следует, что A должно содержать множество натуральных чисел (или это является ОПРЕДЕЛЕНИЕМ множества натуральных чисел).

Чтобы применить этот инструмент, предположим, что B – множество, 1 – элемент B, и для каждого n в B n + 1 также находится в B. Тогда, конечно, A – подмножество B, и какое бы свойство мы ни использовали для определения B, это свойство также должно выполняться для всех элементов A, то есть для всех натуральных чисел.

Таким образом, доказательства математической индукции также являются стандартными инструментами при доказательстве корректности итерационных схем в компьютерном программном обеспечении.

Тщательное определение различных систем счисления и доказательство их свойств является стандартным материалом в курсе абстрактной алгебры в колледже.

В курсе, который я читал, используется

R. E. Johnson, A First Course in Abstract Algebra .

Можно также рассмотреть тексты И. Герштейна или С. Ланга. Но, несомненно, есть и другие.

Забегая вперед, скажу, что основные свойства систем счисления, которые доказываются в таких текстах, следующие

для a не 0 существует единственная обратная величина a, 1/a, и

Итак, определите поле – ведущими примерами являются рациональные, действительные и комплексные числа. Но есть также целые числа по модулю простого.

Затем с помощью поля можно определить векторное пространство, внутренние произведения, нормы, метрики, топологии и непрерывные функции.

Затем можно определить линейные функции и как их представить с помощью матричной алгебры. Затем может показать, что матричная алгебра имеет тождества, иногда инверсии, и имеет ассоциативные операции. Сложение является коммутативным, а умножение обычно нет. Но умножение является дистрибутивным по отношению к сложению.

Теперь мы переходим к части линейной алгебры курса абстрактной алгебры. Там можно узнать о принципиальных компонентах и уменьшении размерности, тестировании IQ и т.д., что может быть полезно в некоторых подходах ИИ. Можно узнать о выпуклости, линейном программировании, релаксации Лагранжа, групповых представлениях, кодировании с исправлением ошибок и получить начальные знания о гильбертовом пространстве.

Стандарты точности в доказательствах особенно высоки.

Джереми Кун – математик и программист, который работал в Google, а также ведет блог на https://jeremykun.com/ (хотя сейчас он больше пишет другую книгу, чем ведет блог).

Он проделывает фантастическую работу по обучению чтению доказательств, что для не-математика является очень неприятным занятием. Математики, объясняет он, пишут для других математиков, а не для студентов, поэтому даже строгие доказательства полны неявных предположений и махинаций, которые глубоко запутывают тех, кто не принадлежит к этой дисциплине. Кун объясняет, как математики мыслят и общаются, начиная с непонятных, но важных типографских символов и заканчивая тем, как формируется концептуальное мышление.

Она не зависит от языка и использует медленный размеренный подход, углубляясь в различные области математики (исчисление, линейная алгебра и т.д.) в каждой главе и уделяя время тому, чтобы поместить примеры в их исторический и развивающий контекст (это основополагающее, что вытекает из применения техники в одной области к проблеме в другой). Это не быстрое и не легкое чтение, и я склонен проработать один раздел, а затем отложить его в сторону, пока не прорастет понимание и не изменится то, как я работаю (именно поэтому я еще не закончил ее). Но это приятное чтение: Кун увлекательно пишет, дает полезные библиографические предложения в контексте, указывает на “слепые” пути или короткие пути, которые, возможно, не стоит выбирать, и успокаивает историями о своих собственных и известных математиков разочарованиях и ошибках, так что когда вы неизбежно столкнетесь с трудностями, вы не будете чувствовать себя деморализованным или глупым. Одна только аннотированная библиография в конце книги стоит цены входного билета.

Я был в таком же положении, как и вы: я вроде бы хорошо разбирался в математике и получал от нее удовольствие, но не имел хорошей теоретической базы, поэтому было бы легко увлечься проблемами вычислений или обозначений и потерять из виду, к каким методам следует обратиться, или оценить, как поверхностно сложная вещь выглядит простой, но выражается очень кратко.

Другие книги, которые я считал достойными прочтения на протяжении многих лет:

Элементы Евклида, потому что нельзя быть слишком хорошим геометром, а доказательства настолько лаконичны, что их можно рассматривать как упражнения для разминки.

Книга Хофштадтера “Годель, Эшер, Бах: вечная золотая тесьма”, в которой с помощью юмора, поэзии, искусства, музыки, философии и мнемонических отступлений рассматривается одно очень сложное математическое доказательство (теорема Годеля о неполноте) и множество фундаментальных концепций информатики.

Математика для миллиона” Ланселота Хогбена – старомодная (1936 г.) работа, предназначенная для недостаточно образованного или неохотно образованного человека, который хочет наверстать упущенное. Гораздо больше посвящена развитию навыков работы с карандашом и бумагой (и, возможно, логарифмической линейкой), чем вашему первоначальному вопросу о том, как писать доказательства (вообще не упоминается до страницы 60), но полезна тем, что исследует, как и почему различные области математики зародились в практических нуждах. Если вы можете смириться с его многословным стилем (и предположением, что вы будете решать примеры вручную), он начинает с самых основных вопросов о том, как считать и измерять вещи, и работает (медленно) в направлении демонстрации вещей в контексте, где они имеют значение – например, теоремы сферической геометрии доказываются как решения острых проблем океанской навигации.

Книга “Как это доказать” – отличный текст. Я не до конца понимал Спивака и Рудина, пока не проработал эту книгу, а потом все доказательства стали понятны!