LCM (Наименьшее общее кратное) и HCF (Наибольший общий фактор)

Что такое LCM (наименьшее общее кратное)?

В арифметике LCM или наименьшее общее кратное двух чисел a и b обозначается как LCM (a,b) – это наименьшее или наименьшее положительное целое число, которое делится и на a, и на b.

LCM также называют наименьшим общим делителем.

Пример:

Возьмем два положительных целых числа 3 и 4, задача состоит в том, чтобы найти LCM(3, 4). Решение:

• Кратные 3: 3,6,9,12,15,18,21,24…
• Кратные 4: 4,8,12,16,20,24,28…

Как найти LCM?

Существует 3 метода нахождения наименьшего общего кратного двух чисел.

1. LCM методом перечисления
2. LCM методом прайм-факторизации
3. LCM с помощью метода деления

1. LCM методом перечисления:

Мы можем найти общие кратные двух или более чисел, перечислив их кратные. Из этих общих кратных и наименьшее общее кратное считается LCM двух данных чисел.

Чтобы вычислить LCM двух чисел A и B методом перечисления, выполните следующие действия:

1. Сначала перечислите несколько первых кратных чисел A и B.
2. Отметьте общие кратные из кратных обоих чисел.
3. Выберите наименьшее отмеченное общее кратное. Таким образом, получается LCM(A, B).

Пример:

2. LCM методом деления:

Мы можем найти LCM методом деления заданных чисел. Это можно сделать, разделив числа на общее простое число, и эти простые коэффициенты используются для вычисления LCM этих чисел.

Выполните следующие действия, чтобы вычислить LCM двух чисел A и B методом деления:

1. Сначала найдите простое число, которое является множителем хотя бы одного из данных чисел. Запишите это простое число слева от данных чисел.
2. Если простое число, полученное на шаге 1, является множителем числа, то разделите это число на простое и запишите полученный коэффициент под ним. Если простое число, полученное в шаге 1, не является множителем числа, то запишите число в строке ниже, как оно есть. Продолжайте действия до тех пор, пока в последнем ряду не останется 1.

Пример:

Возьмем два положительных целых числа 3 и 4, задача состоит в том, чтобы найти LCM(3, 4). Решение:

LCM – это произведение всех этих простых чисел. Следовательно, LCM(3, 4) = 12

3. LCM методом прайм-факторизации:

Мы можем найти LCM, используя метод прайм-факторизации данных чисел.

Чтобы вычислить LCM двух чисел методом простой факторизации, выполните следующие действия:

1. Сначала найдите простые множители данных чисел, используя метод повторного деления.
2. Запишите эти числа в виде экспоненты и найдите произведение только тех простых факторов, которые имеют наибольшую силу.
3. Произведение этих факторов с наибольшей силой является LCM данных чисел.

Пример:

Найдите LCM двух положительных целых чисел 120 и 300.

Решение:

• Простыми факторизациями числа 120 являются: 2*2*2*3*5 = 2 3 *3 1 *5 1
• Простая факторизация числа 300 имеет вид: 2*2*3*5*5 = 2 2 *3 1 *5 2

Что такое HCF (наивысший общий фактор)?

Наибольший общий фактор (HCF) двух чисел – это наибольшее возможное число, которое полностью делит оба числа. Наибольший общий коэффициент (HCF) также известен как наибольший общий делитель (GCD).

H.C.F. также называют наибольшим общим фактором (GCF).

Как найти HCF?

Существует 3 метода вычисления HCF двух чисел:

1. HCF методом перечисления факторов
2. HCF методом простой факторизации
3. HCF методом деления

1. Метод перечисления факторов

Здесь мы перечисляем факторы каждого числа и находим общие факторы этих чисел. Затем, среди общих факторов, мы определяем наибольший общий фактор.

Пример:

• Факторами числа 32 являются: 1, 2, 4, 8, 16, 32
• Коэффициентами числа 14 являются: 1, 2, 7, 14

2. HCF методом прайм-факторизации

Мы можем найти HCF заданных чисел с помощью метода простой факторизации.

Выполните следующие действия, чтобы вычислить HCF заданных чисел методом простой факторизации:

1. Сначала найдите общие простые коэффициенты заданных чисел.
2. Перемножьте эти общие простые коэффициенты, чтобы получить HCF этих чисел.

Пример:

• Простые факторы числа 80: 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 5;
• Простые факторы числа 90: 2 * 3 * 3 * 5.

3. HCF методом деления

ВЧК двух чисел можно вычислить методом деления.

Чтобы вычислить ВЧК заданных чисел методом деления, выполните следующие действия.

1. Сначала разделите большее число на меньшее и проверьте остаток.
2. Затем остаток предыдущего шага делаем новым делителем, а делитель предыдущего шага становится новым дивидендом. После этого мы снова выполняем деление.
3. Продолжайте деление до тех пор, пока остаток не будет равен 0. Следует отметить, что последним делителем будет HCF этих двух чисел.

Пример:

Найдите ГКЧ чисел 30 и 42.

Решение:

ВЧК от 30 и 42

Следовательно, ВЧК от 30 и 42 равно 6.

Примеры задач на LCM и HCF:

• Вопрос 1: Два числа находятся в отношении 5:11. Если их HCF равен 7, найдите эти числа. Решение: Пусть числа равны 5m и 11m. Так как 5:11 уже является уменьшаемым, то “m” должно быть HCF. Итак, числа 5 x 7 = 35 и 11 x 7 = 77.
• Вопрос 2: Найдите длину доски, с помощью которой можно точно измерить длины 4 м 50 см, 9 м 90 см и 16 м 20 см за наименьшее время. Решение: Сначала переведем каждую длину в см. Итак, длины равны 450 см, 990 см и 1620 см. Теперь нам нужно найти длину самой большой доски, которая может быть использована для измерения этих длин, так как самая большая доска займет меньше всего времени. Для этого нам нужно взять HCF 450, 990 и 1620 см. 450 = 2 x 3 x 3 x 5 x 5 = 2 x 3 2 x 5 2 990 = 2 x 3 x 3 x 5 x 11 = 2 x 3 2 x 5 x 11 1620 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 5 = 2 2 x 3 4 x 5 Поэтому HCF (450, 990, 1620) = 2 x 3 x 3 x 5 = 90 Таким образом, нам нужна доска длиной 90 см, чтобы измерить заданные длины за наименьшее время.
• Вопрос 3: Найдите наибольшее число, которое при делении 70 и 50 оставляет остатки 1 и 4 соответственно. Решение: Искомое число при делении на 70 и 50 оставляет остатки 1 и 4 соответственно. Это означает, что число точно делит 69 и 46. Значит, нужно найти HCF чисел 69 (3 x 23) и 46 (2 x 23). HCF (69, 46) = 23 Таким образом, 23 – искомое число.
• Вопрос 4: Найдите наибольшее число, которое делит 64, 136 и 238 так, что в каждом случае остается одинаковый остаток. Решение
• Вопрос 5: Найдите наименьшее число, которое при делении на 5, 7, 9 и 12 оставляет одинаковый остаток 3 в каждом случае Решение: В подобных вопросах нужно найти LCM делителей и прибавить к нему общий остаток (3). Итак, LCM (5, 7, 9, 12) = 1260 Следовательно, искомое число = 1260 + 3 = 1263
• Вопрос 6: Найдите наибольшее четырехзначное число, в точности кратное 15, 21 и 28. Решение: Самое большое четырехзначное число – 9999. Теперь, LCM (15, 21, 28) = 420 При делении 9999 на 420 получаем 339 в качестве остатка. Таким образом, искомое число равно 9999-339 = 9660.
• Вопрос 7: Полицейские в трех разных местах на земле подают свисток через каждые 42 секунды, 60 секунд и 78 секунд соответственно. Если все они дуют в свисток одновременно в 9:30:00 часов, то в какое время они свистнут еще раз вместе Решение: Они все будут свистеть одновременно через интервал времени, равный LCM их индивидуальных циклов свиста. Так, LCM (42, 60, 78) = 2 x 3 x 7 x 10 x 13 = 5460 Поэтому они снова одновременно дадут свисток через 5460 секунд, то есть через 1 час 31 минуту, то есть в 11:01:00 часов.
• Вопрос 8: Найдите наименьшее число, которое при делении на 6, 7, 8 оставляет остаток 3, а при делении на 9 не оставляет остатка. Решение LCM (6, 7, 8) = 168 Значит, число имеет вид 168m + 3. Теперь 168m + 3 должно быть кратно 9. Мы знаем, что число делится на 9, если сумма его цифр кратна 9. Для m = 1 число 168 + 3 = 171, сумма цифр которого равна 9. Поэтому искомое число равно 171.
• Question 9: Two numbers are in the ratio 2:3. If the product of their LCM and HCF is 294, find the numbers. Solution: Let the common ratio be ‘m’. So, the numbers are 2m and 3m. Now, we know that the Product of numbers is = Product of LCM and HCF. => 2m x 3m = 294 => m 2 = 49 => m = 7 Следовательно, числа 14 и 21.
• Question 10: A rectangular field of dimension 180m x 105m is to be paved by identical square tiles. Find the size of each tile and the number of tiles required. Solution: We need to find the size of a square tile such that a number of tiles cover the field exactly, leaving no area unpaved. For this, we find the HCF of the length and breadth of the field. HCF (180, 105) = 15 Therefore, size of each tile = 15m x 15m Also, number of tiles = area of field / area of each tile => Number of tiles = (180 x 105) / (15 x 15) => Количество плиток = 84 Следовательно, нам нужно 84 плитки размером 15 м х 15 м каждая.
• Question 11: Three rectangular fields having areas of 60 m 2 , 84 m 2, and 108 m 2 are to be divided into identical rectangular flower beds, each having a length of 6 m. Find the breadth of each flower bed. Solution: We need to divide each large field into smaller flower beds such that the area of each bed is same. So, we find the HCF of the larger fields which gives us the area of the smaller field. HCF (60, 84, 108) = 12 Now, this HCF is the area (in m 2 ) of each flower bed. Also, area of a rectangular field = Length x Breadth => 12 = 6 x Breadth => Ширина = 2 м Следовательно, ширина каждой клумбы будет 2 м.
• Вопрос 12: Найдите максимальное количество студентов, среди которых можно распределить 182 шоколадки и 247 конфет так, чтобы каждый студент получил одинаковое количество конфет. Также найдите количество шоколадок и конфет, которое получит каждый студент. Решение: Нужно найти HCF количества имеющихся шоколадок и конфет, что даст нам количество студентов. HCF (182, 247) = 13 Значит, студентов может быть 13. Кроме того, количество шоколадок для каждого студента = 182 / 13 = 14 Количество ирисок для каждого студента = 247 / 13 = 19

Задача на HCF и LCM | Set-2

Эта статья была подготовлена Нишантом Арора. Пожалуйста, пишите комментарии, если у вас есть какие-либо сомнения, связанные с темой, рассмотренной выше, или вы столкнулись с трудностями в каком-либо вопросе, или если вы хотите обсудить вопрос, отличный от упомянутых выше. Пожалуйста, пишите комментарии, если вы нашли что-то неправильное или хотите поделиться дополнительной информацией по обсуждаемой выше теме.