Тригонометрические соотношения

Тригонометрические соотношения – это соотношения длин сторон треугольника. Эти соотношения в тригонометрии связаны с отношением сторон правильного треугольника к соответствующему углу. Основными тригонометрическими коэффициентами являются sin, cos и tan, то есть коэффициенты синуса, косинуса и тангенса. Другие важные тригонометрические соотношения, cosec, sec и cot, могут быть получены с помощью sin, cos и tan соответственно.

Слово “тригонометрия” произошло от слов “тригонон”, что означает “треугольник”, и “метрон”, что означает “измерять”. Это раздел математики, который изучает связь между углами и сторонами прямоугольного треугольника. На самом деле, тригонометрия – один из самых древних предметов, который изучают ученые всего мира. Давайте подробно разберемся в тригонометрических соотношениях в следующих разделах.

1.	Что такое тригонометрические соотношения?
2.	Формулы тригонометрических соотношений
3.	Таблица тригонометрических соотношений
4.	Тождества тригонометрических соотношений
5.	Вопросы и ответы по тригонометрическим коэффициентам

Что такое тригонометрические соотношения?

В тригонометрии существует шесть тригонометрических соотношений, а именно: синус, косинус, тангенс, секанс, косеканс и котангенс. Эти соотношения записываются как sin, cos, tan, sec, cosec (или csc) и cot. Давайте посмотрим на прямоугольный треугольник, изображенный ниже. Тригонометрические соотношения могут быть использованы для определения соотношений любых двух сторон из трех сторон прямоугольного треугольника по соответствующим углам.

Значения этих тригонометрических соотношений можно вычислить, используя меру острого угла θ в прямоугольном треугольнике, приведенном ниже. Это означает, что значение отношения любых двух сторон треугольника зависит от угла C. В качестве альтернативы можно найти значения этих тригонометрических соотношений для угла A. В этом случае для данного прямоугольного треугольника будут меняться только основание и перпендикуляр.

Эти шесть тригонометрических соотношений можно определить следующим образом,

Синус: Коэффициент синуса для любого данного угла определяется как отношение перпендикуляра к гипотенузе. В данном треугольнике синус угла θ можно определить как sin θ = AB/AC.

Косинус: Косинус угла определяется как отношение основания к гипотенузе. В данном треугольнике косинус угла θ может быть задан как cos θ = BC/AC.

Тангенс: Коэффициент тангенса для любого данного угла определяется как отношение перпендикуляра к основанию. В данном треугольнике тангенс угла θ может быть задан как tan θ = AB/BC.

Косекант: Косеканс для любого угла определяется как отношение гипотенузы к перпендикуляру. В данном треугольнике косекант угла θ может быть задан как cosec θ = AC/AB.

Секанс: Секанс любого угла определяется как отношение гипотенузы к основанию. В данном треугольнике секущая угла θ может быть задана как, sec θ = AC/BC.

Котанген

Тригонометрические соотношения можно вычислить, взяв отношение любых двух сторон прямоугольного треугольника. Мы можем оценить третью сторону с помощью теоремы Пифагора, учитывая меру двух других сторон. Мы можем использовать сокращенную форму тригонометрических соотношений, чтобы сравнить длину любых двух сторон с углом в основании. Угол θ является острым углом (θ

Формулы тригонометрических соотношений

cos θ = основание/гипотенуза

• tan θ = Перпендикуляр/База
• sec θ = Гипотенуза/База
• cosec θ = Гипотенуза/перпендикуляр
• cot θ = основание/перпендикуляр
• Теперь давайте рассмотрим формулы обратных тригонометрических соотношений вышеупомянутых тригонометрических соотношений. Наблюдая, мы заметим, что sin θ является обратным cosec θ, cos θ является обратным sec θ, tan θ является обратным cot θ, и наоборот. Итак, новый набор формул для тригонометрических соотношений таков:
• sin θ = 1/cosec θ

cos θ = 1/сек θ

• tan θ = 1/cot θ
• cosec θ = 1/sin θ
• sec θ = 1/cos θ
• cot θ = 1/tan θ
• Таблица тригонометрических соотношений
• В таблице тригонометрических соотношений мы используем значения тригонометрических соотношений для стандартных углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90º. Легко предсказать значения таблицы и использовать ее в качестве справочника для расчета значений тригонометрических коэффициентов для различных других углов, используя формулы тригонометрических коэффициентов для существующих закономерностей внутри тригонометрических коэффициентов и даже между углами. Теперь мы сведем значения тригонометрических коэффициентов для конкретных углов в таблицу ниже:

Таблица тригонометрических соотношений

Существует множество тождеств тригонометрических соотношений, которые мы используем для облегчения и упрощения наших вычислений. К ним относятся тождества дополнительных углов, дополнительных углов, пифагорейские тождества, а также тождества суммы, разности и произведения.

Тождества тригонометрических соотношений

Дополнительные углы – это пара двух углов, сумма которых равна 90°. Дополнение угла θ равно (90° – θ). Тригонометрические соотношения дополнительных углов таковы:

sin (90°- θ) = cos θ

cos (90°- θ) = sin θ

• cosec (90°- θ) = sec θ
• sec (90°- θ) = cosec θ
• tan (90°- θ) = cot θ
• cot (90°- θ) = tan θ
• Тождества пифагорейских тригонометрических соотношений
• Тождества пифагорейских тригонометрических соотношений в тригонометрии вытекают из теоремы Пифагора. Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, изображенному ниже, получаем:

Противоположная 2 + Смежная 2 = Гипотенуза 2

Делим обе стороны на гипотенузу 2

Противоположная 2 / гипотенуза 2 + Смежная 2 / гипотенуза 2 = Гипотенуза 2 / гипотенуза 2

sin 2 θ + cos 2 θ = 1

Это одно из важных пифагорейских тождеств. Таким же образом мы можем вывести два других пифагорейских тождества тригонометрических соотношений:

• sin 2 θ + cos 2 θ = 1

1 + tan 2 θ = sec 2 θ

• sin 2 θ + cos 2 θ = 1
• Тождества суммы, разности и произведения тригонометрических соотношений
• Тождества суммы, разности и произведения тригонометрических соотношений включают формулы sin(A+B), sin(A-B), cos(A+B), cos(A-B) и т.д.

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

• cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
• cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
• tan (A + B) = (tan A + tan B)/ (1 – tan A tan B)
• tan (A – B) = (tan A – tan B)/ (1 + tan A tan B)
• cot (A + B) = (cot A cot B – 1)/(cot B – cot A)
• cot (A – B) = (cot A cot B + 1)/(cot B – cot A)
• 2 sin A⋅cos B = sin(A + B) + sin(A – B)
• 2 cos A⋅cos B = cos(A + B) + cos(A – B)
• 2 sin A⋅sin B = cos(A – B) – cos(A + B)
• Тождества тригонометрических соотношений половинного, двойного и тройного углов
• Тождества тригонометрических соотношений двойного угла

Тригонометрические тождества двойного угла можно получить с помощью формул суммы и разности.

Например, из приведенной выше формулы sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B

Подставляя сюда с обеих сторон A = B = θ, получаем:

sin (θ + θ) = sinθ cosθ + cosθ sinθ sin 2θ = 2 sinθ cosθ

Таким же образом можно вывести и другие тождества двойного угла.

sin 2θ = 2 sinθ cosθ

cos 2θ = cos 2 θ – sin 2 θ cos 2θ = 2 cos 2 θ – 1 cos 2θ = 1 – 2 sin 2 θ cos 2θ = (1 – tan 2 θ)/(1 + tan 2 θ)

• tan 2θ = (2 tanθ)/ (1 – tan 2 θ)
• sec 2θ = sec 2 θ/(2-sec 2 θ)
• cosec 2θ = (sec θ. cosec θ)/2
• cot 2θ = (cot θ – tan θ)/2
• Тождества тригонометрических соотношений для половинного угла
• Используя одну из формул двойного угла, cos 2θ = 1 – 2 sin 2 θ 2 sin 2 θ = 1- cos 2θ sin 2 θ = (1 – cos 2θ)/(2) sin θ = ±√[(1 – cos 2θ)/2].

Замените θ на θ/2 с обеих сторон,

sin (θ/2) = ±√[(1 – cos θ)/2]

Это формула полуугла синуса.

Таким же образом мы можем вывести другие формулы полуугла.

sin (θ/2) =±√[(1 – cos θ)/2]

cos (θ/2) = ±√[(1 + cos θ)/2]

• tan (θ/2) = ±√[(1 – cos θ)(1 + cosθ)].
• Тождества тригонометрических соотношений тройного угла
• sin 3θ = 3sin θ – 4sin 3 θ

cos 3θ = 4cos 3 θ – 3cos θ

• tan 3θ = (3tanθ – tan 3 θ)/(1 – 3tan 2 θ)
• Похожие темы:
• Важные замечания по тригонометрическим соотношениям:

Значения тригонометрических коэффициентов не меняются при изменении длин сторон треугольника, если угол остается неизменным.

Все тригонометрические функции периодичны по своей природе.

• Тригонометрические соотношения используются для нахождения недостающих сторон или углов в треугольнике.
• Примеры на тригонометрические соотношения
• Пример 1: В прямоугольном треугольнике ABC, прямоугольном в точке B, гипотенуза AC = 10 единиц, основание BC = 8 единиц и перпендикуляр AB = 6 единиц и если ∠ACB = θ, то найдите тригонометрические соотношения tan θ, sin θ и cos θ.

Решение:

Мы знаем, что sin θ = перпендикуляр/гипотенуза

cos θ = основание/гипотенуза

tan θ = перпендикуляр/база

Ответ: sin θ, cos θ и tan θ для данного треугольника равны 3/5, 4/5 и 3/4 соответственно.

Пример 2: Здание находится на расстоянии 210 футов от точки A на земле. Найдите высоту здания, если tan θ = 4/3?

Решение: Образовавшийся треугольник является прямоугольным. Теперь примените тригонометрическое соотношение tanθ для вычисления высоты здания.

tan θ = Перпендикуляр/Основание

4/3 = Высота/210 футов

cosec θ = Гипотенуза/перпендикуляр

Ответ: Высота здания равна 280 футов.

Пример 3: Треугольник прямоугольный в точке C с AB = 29 единиц и AC = 20 единиц. Можете ли вы проверить тождество тригонометрических соотношений cos 2 θ + sin 2 θ = 1, используя эти значения?

Решение: Мы найдем BC, используя теорему Пифагора,

Теперь определим значения sinθ и cosθ

sinθ = AC/AB = 20/29

cosθ = BC/AB = 21/29

Теперь проверим тождество.

cos 2 θ + sin 2 θ = (21/29) 2 + (20/29) 2 = (400 + 441)/841 = 1

Ответ: Следовательно, тождество тригонометрических соотношений проверено.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализации.

Практические вопросы по тригонометрическим соотношениям

Вопросы и ответы по тригонометрическим соотношениям

Как найти тригонометрические коэффициенты?

Вопросы и ответы по тригонометрическим коэффициентам

sin θ = Перпендикуляр/Гипотенуза

cos θ = основание/гипотенуза

• tan θ = Перпендикуляр/База
• sec θ = Гипотенуза/База
• cosec θ = Гипотенуза/перпендикуляр
• cot θ = основание/перпендикуляр
• Теперь давайте рассмотрим формулы обратных тригонометрических соотношений вышеупомянутых тригонометрических соотношений. Наблюдая, мы заметим, что sin θ является обратным cosec θ, cos θ является обратным sec θ, tan θ является обратным cot θ, и наоборот. Итак, новый набор формул для тригонометрических соотношений таков:
• sin θ = 1/cosec θ

Каковы области применения тригонометрических соотношений?

Существуют различные применения тригонометрических соотношений, например:

Синус и косинус используются для представления звуковых волн.

Некоторые тригонометрические соотношения используются в архитектуре, строительстве зданий и т.д.

• Они используются при создании карт.
• Что такое тригонометрические соотношения определенных углов?
• Тригонометрические соотношения могут быть определены для различных углов. Но для удобства вычислений мы запоминаем тригонометрические соотношения некоторых конкретных углов, таких как 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Значения коэффициентов для этих углов можно найти в таблице тригонометрических соотношений.

Что такое тригонометрические соотношения дополнительных углов?

Дополнительные углы – это два угла, сумма которых равна 90°. Формулы для тригонометрических соотношений дополнительных углов следующие:

sin (90°- θ) = cos θ

cos (90°- θ) = sin θ

• cosec (90°- θ) = sec θ
• sec (90°- θ) = cosec θ
• tan (90°- θ) = cot θ
• cot (90°- θ) = tan θ
• Тождества пифагорейских тригонометрических соотношений
• Тождества пифагорейских тригонометрических соотношений в тригонометрии вытекают из теоремы Пифагора. Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, изображенному ниже, получаем:

Формула тригонометрических соотношений

Таблица тригонометрических соотношений