Введение в тригонометрию
Тригонометрия помогает нам находить углы и расстояния, а также широко используется в науке, технике, видеоиграх и не только!
Прямоугольный треугольник
Наибольший интерес представляет прямоугольный треугольник. Прямой угол показан маленьким квадратиком в углу:
Другой угол часто обозначают θ , и тогда три стороны называются:
- Смежная : смежная с углом θ.
- Противоположная : противоположная углу θ
- а самая длинная сторона – гипотенуза.
Почему треугольник прямоугольный?
Почему этот треугольник так важен?
Представьте, что мы можем измерить расстояние вдоль и вверх, но хотим знать прямое расстояние и угол:
Тригонометрия может найти недостающие угол и расстояние.
Или, может быть, у нас есть расстояние и угол, и нам нужно “построить точку” вдоль и вверх:
Подобные вопросы часто встречаются в инженерном деле, компьютерной анимации и других областях.
И тригонометрия дает ответы!
Синус, косинус и тангенс
Основными функциями в тригонометрии являются синус, косинус и тангенс.
Они представляют собой деление одной стороны прямоугольного треугольника на другую.
Для любого угла ” θ “:
(Синус, косинус и тангенс часто сокращают до sin, cos и tan).
Пример: Чему равен синус угла 35°?
Используя этот треугольник (длины указаны только до одного десятичного знака):
sin(35°) = Противоположная гипотенуза = 2,8 4,9 = 0,57.
Треугольник может быть больше, меньше или развернут, но угол всегда будет иметь такое соотношение.
В калькуляторах есть sin, cos и tan, чтобы помочь нам, поэтому давайте посмотрим, как их использовать:
Пример: Какой высоты дерево?
Мы не можем дотянуться до верхушки дерева, поэтому мы отходим и измеряем угол (с помощью транспортира) и расстояние (с помощью лазера):
- Мы знаем гипотенузу
- И мы хотим узнать противоположность.
Синус – это отношение Противоположного угла к Гипотенузе:
sin(45°) = Противоположная гипотенуза
Возьмите калькулятор, введите “45”, затем клавишу “sin”:
sin(45°) = 0,7071.
Что означает 0,7071? Это отношение длин сторон, поэтому противоположная сторона примерно в 0,7071 раза длиннее гипотенузы.