Как мы учимся математике?

“Бог создал целые числа; все остальное – дело рук человека”. Пожалуй, одна из самых известных математических цитат всех времен. Ее автором был немецкий математик Леопольд Кронекер (1823-1891). Хотя иногда ее интерпретируют (ошибочно) как теологическое утверждение, Кронекер формулировал интеллектуальное направление, которое доминировало во многих областях математики во второй половине девятнадцатого века: свести систему действительных чисел сначала к целым числам, а затем к формальной логике. Мотивированное в значительной степени желанием поставить исчисление бесконечно малых на “прочную, логическую основу”, оно потребовало многих лет для достижения этой цели. Последним ключевым шагом, с точки зрения систем счисления, стала формулировка итальянским математиком Джузеппе Пеано (1858-1932) набора аксиом (точнее – неточная формулировка оказалась опасным камнем, на котором барахтались многие многообещающие достижения – бесконечной схемы аксиом), определяющих аддитивную структуру положительных целых чисел. (Остальная часть процесса редукции показала, как числа могут быть определены в рамках абстрактной теории множеств, которая, в свою очередь, может быть сведена к формальной логике).

Если смотреть в целом, то это впечатляющая работа, одно из величайших интеллектуальных достижений человечества, скажут многие. Я отношусь к их числу; действительно, именно эта работа, как никакая другая, привела меня к тому, что я защитил докторскую диссертацию – и большую часть моих профессиональных исследований впоследствии – по математической логике, с особым акцентом на теорию множеств.

Математическая логика и теория множеств – два из небольшой группы предметов, которые обычно проходят под названием “Основания математики”. Когда я начал работать в аспирантуре, математический мир только что пережил очередной из целой серии “кризисов оснований”, в данном случае открытие Пола Коэна в 1963 году о том, что существуют конкретные вопросы о числах, на которые доказуемо невозможно ответить (на основе принятых в настоящее время аксиом).

Во всех этих кризисах было что-то странное. (Более ранним кризисом было открытие Бертраном Расселом в 1901 году парадокса, названного в его честь, который разрушил попытку Фреге обосновать математику в элементарной теории множеств). Хотя математическое сообщество без колебаний признало важность этих открытий именно как новых математических открытий (Коэн был награжден медалью Филдса за свою теорему), математики ни на йоту не изменили свою повседневную математическую практику. Они продолжали работать точно так же, как и раньше.

Поэтому странным представляется понятие “фундамент”, который, как бы сильно он ни был поколеблен или даже доказана его несостоятельность и в конечном итоге заменен, жизнь в здании, якобы возведенном на его вершине, продолжается как ни в чем не бывало.

Есть еще кое-что странное в этих конкретных фундаментах. Они были построены после того, как на их вершине была возведена математика.

В каком же смысле формальная логика, абстрактная теория множеств, аксиомы Пеано и все остальное являются “фундаментальными”? Ответ – очевидный для всех нас, кто достаточно долго живет в современном математическом мире, – заключается в том, что они являются началом логической цепи развития, где каждое новое звено цепи – или каждый новый этаж здания, если вы предпочитаете строительную метафору, подразумеваемую словом “фундамент”, – который, если следовать ему достаточно далеко (или высоко), в конечном итоге дает вам всю математику.

Оглядываясь назад, могу сказать, что большинство математических курсов, которые я читал, будучи студентом, и многие другие, которые я читал в течение нескольких десятилетий преподавания математики в университетах и аспирантуре, следовали той же логической структуре, которая подразумевается в фундаментальном взгляде на математику. Я начинал с основ – определений и аксиом – и затем выстраивал все по нарастающей. Это был в значительной степени синтетический взгляд на математику. Среди этих курсов был один под названием “Реальный анализ”, который, начиная с некоторых четко определенных первых принципов, развивает концепцию непрерывности и основные элементы дифференциального и интегрального исчислений. Время от времени я отмечал про себя, насколько совершенно неуместным было название “анализ” для курса, который был сплошным синтезом. Но я знал историческую причину такого названия. Предмет возник в результате долгой борьбы за анализ системы действительных чисел.

Но если это так, а это так, то почему мы обычно не преподаем его в соответствии с историческим развитием? Другими словами, почему мы не преподаем ее как процесс анализа (интуитивного представления о непрерывной вещественной линии с арифметической структурой)? Ну, некоторые люди преподают, или, по крайней мере, преподавали. Но большинство из нас этого не делает, и причина, я думаю (наверняка моя причина), в том, что просто гораздо эффективнее следовать присущей логико-математической структуре, а не исторической нити.

“Ранние, интуитивные представления людей о непрерывности (например) были просто ошибочными”, – скажут многие, – “Так зачем тратить время на разгребание углей истории? Просто дайте студенту правильное определение и двигайтесь дальше”. Это сработало для меня, как для студента, так и для профессора, и это сработало для большинства моих профессиональных коллег. Однако на пути к профессиональному становлению многие мои попутчики-студенты сошли с дистанции. Подход, который сработал для меня, похоже, подходит не всем.

В последние годы моей профессиональной деятельности я стал больше интересоваться вопросами математического познания. (Около шестнадцати лет отделяют мой увесистый том “Конструктивность”, опубликованный в 1983 году и представлявший собой примерно такое же синтетическое, основополагающее изложение математики, какое только можно получить, от моей гораздо более доступной (я надеюсь) книги 2000 года “Ген математики”, где я представляю эволюционный отчет о развитии математических способностей в человеческом мозге). Это изменение фокуса заставило меня задуматься о взаимосвязи между синтетическим подходом к математике, который преобладает в математических вузах и аспирантурах.

В обоих случаях, эволюционного когнитивного развития и обучения математике, мои размышления были, по необходимости, размышлениями стороннего наблюдателя, хотя и того, кто провел свою профессиональную жизнь, работая в интересующей его области – математике. Я не культурный антрополог и не эволюционный биолог, я не обучен методам когнитивной психологии, и мой единственный опыт преподавания элементарной математики был получен в качестве вынужденного реципиента процесса более лет назад, чем я хочу помнить. Тем не менее, за последние двадцать лет я прочитал тонну исследований во всех этих областях – достаточно, чтобы понять, что мы знаем намного, намного меньше о том, как мозг занимается математикой, как он приобрел эту способность и как маленькие дети учатся ей, чем о самом предмете.

Следствием этого недостатка современных научных знаний является очевидное последствие: мы не знаем лучшего способа преподавания математики!

“Ну разве это не сюрприз!” – скажете вы.

На самом деле нет. Я говорю не только о том, как вводить те или иные темы или важно ли, чтобы ученики освоили алгоритм деления. Все гораздо фундаментальнее. Мы не знаем, на каком взгляде на математику основывать наше обучение! На самом деле, насколько я могу судить по письмам, которые я получаю – а я получаю их довольно много – многие американские педагоги не знают, что может существовать альтернатива тому подходу, который мы автоматически принимаем и (неявно) используем.

Этот подход, преобладающий в США, и тот, который был неявным в том, как меня учили математике, заключается в том, что начинающий математик абстрагирует математические понятия из своего повседневного опыта. Насколько нам известно, именно так возникло понятие (положительных, целых) чисел в Шумерии между 8000 и 5000 годами до н.э. (Я описываю эту увлекательную историю в своих книгах “Математика: Наука о закономерностях” и в книге “Ген математики”). Предполагается, что в соответствии с сегодняшней стандартной программой обучения математике К-12 в США ученик, опираясь на свое интуитивно обоснованное, абстрагированное от мира, основанное на реальности понимание счетных чисел, развивает понятия и процедуры для работы с дробями и отрицательными числами – точный порядок введения здесь не ясен – и затем, в конечном итоге, с действительными числами. (Система комплексных чисел, “конечная точка” развития с математической точки зрения, оставлена для университетского уровня. Я вернусь к комплексным числам позже.)

[Я сказал “сегодняшняя стандартная программа обучения математике в США” в вышеприведенном абзаце. Несколько лет назад геометрия также была стандартной частью учебной программы, но в итоге от нее отказались, чтобы сосредоточиться на системах счисления и алгебре, которые считаются более важными для жизни в современном обществе. Я вернусь к этому позже].

Этот взгляд на приобретение математических знаний и способностей подразумевается в рассказе, который я привожу в “Математическом гене”, и был ярко выражен в книге Лакоффа и Нуньеса “Откуда берется математика”, которая, хотя и вышла сразу после моей, в том же издательстве, и, казалось бы, является непосредственным продолжением моей, была написана совершенно независимо, хотя и в то же время.

Признаюсь, что, будучи в некотором роде поклонником метафор Лакоффа и одно время коллегой Нуньеса, при первом прочтении их книги я с энтузиазмом согласился со всем, что они сказали. Но после размышлений, второго и третьего прочтения, а также обсуждения с коллегами – в частности, с израильским специалистом по математическому образованию Ури Лероном – у меня зародились сомнения. Картина, которую Лакофф и Нуньес рисуют о приобретении новых математических понятий и знаний, представляет собой итерационное построение метафоры, где каждое новое понятие создается на основе уже приобретенных знаний путем построения новой метафоры.

Лакофф и Нуньес не утверждают, что эти метафоры – переходы из одной области в другую – являются преднамеренными или осознанными, хотя некоторые из них могут быть таковыми. Скорее, они пытаются описать механизм, с помощью которого мозг, как физический орган, расширяет область своей деятельности. Моя проблема, и проблема других людей, с которыми я разговаривал, заключалась в том, что описанный ими процесс, хотя и правдоподобный (и, возможно, правильный) для того, как мы учимся элементарной арифметике и, возможно, другим более базовым частям математики, совсем не похож на то, как (некоторые? многие? большинство? все?) профессиональные математики учатся новой продвинутой области абстрактной математики.

Скорее, математик (по крайней мере, я и другие, кого я спрашивал) изучает новую математику так, как люди учатся играть в шахматы. Сначала мы изучаем правила игры в шахматы. Эти правила не связаны ни с чем в нашем повседневном опыте. Они не имеют смысла. Это просто правила игры в шахматы. Чтобы играть в шахматы, вам не нужно понимать правила, знать, откуда они взялись или что они “означают”. Вы просто должны следовать им. В наших первых попытках играть в шахматы мы слепо следуем правилам, не понимая, что делаем. И, если только мы не играем с другим новичком, нас обыгрывают. Но затем, после того как мы сыграли несколько партий, правила начинают иметь для нас смысл – мы начинаем их понимать. Не с точки зрения чего-то в реальном мире или в нашем предыдущем опыте, а с точки зрения самой игры. В конце концов, после того как мы сыграли много партий, правила забываются. Мы просто играем в шахматы. И это действительно имеет для нас смысл. Ходы действительно имеют смысл (с точки зрения игры). Но это не процесс создания метафоры. Скорее, это когнитивный бутстраппинг (мой термин), когда мы используем тот факт, что благодаря сознательным усилиям мозг может научиться следовать произвольным и бессмысленным правилам, а затем, после того как наш мозг приобретает достаточный опыт работы с этими правилами, он начинает понимать их, и они приобретают для нас смысл. (По крайней мере, это происходит, если эти правила сформулированы и собраны вместе таким образом, что имеют структуру, позволяющую это сделать).

Это, как я уже сказал, способ, которым я и (по крайней мере, некоторые, если не большинство или все) другие профессиональные математики изучают новую математику. (Не в каждом случае, конечно. Иногда мы с самого начала видим, в чем суть новой игры.) Часто, после того как мы выучили новый материал по определенным правилам, мы можем связать его с тем, что знали раньше. Другими словами, мы можем построить метафорическую карту, связывающую новое со старым. Но это возможно только после того, как мы завершили процесс обучения. Это не то, как мы этому научились. Точно так же шахматисты-эксперты часто описывают свою игру в терминах военных метафор, используя такие понятия, как “угроза”, “продвижение”, “отступление” и “усиление”. Но все это не имеет смысла, когда новичок только учится играть. Метафора реального мира здесь зависит от достаточно продвинутого понимания шахмат, она не ведет к нему.

Ну, пока что все это звучит как интересная дискуссия для кофейной комнаты на математическом факультете университета. Но вот в чем загвоздка. Если изучение продвинутой математики больше похоже на изучение шахмат, чем, скажем, на обучение ходьбе, игре в теннис или езде на велосипеде – где мы начинаем с наших родных способностей, совершенствуем их и практикуем, – то с какого момента в учебной программе К-университета начинается этот “другой” вид математики?

Лерон, которого я упоминал ранее, и другие авторы представили убедительные доказательства того, что она определенно начинается – или уже началась – когда ученик знакомится с понятием математической функции. Как показали Лерон и другие, значительная часть студентов математических факультетов университетов не имеет правильного понятия функции.

А у вас? Вот простой тест. (Этот тест намного проще, чем те, которые использовал Лерон.) Рассмотрим “удваивающую функцию” y = 2x (или, если вы предпочитаете более сложные обозначения, f(x) = 2x). Вопрос: Когда вы начинаете с числа, что делает с ним эта функция?

Если вы ответили: “Удваивает его”, то вы ошиблись. Нет, не надо возвращаться назад и говорить: “Ну, на самом деле я имел в виду…”. Этот первоначальный ответ был неправильным и показывает, что, даже если вы “знаете” правильное определение, ваше базовое понятие функции неверно. Функции, как они определены и постоянно используются в математике, ничего ни с чем не делают. Они не являются процессами. Они соотносят вещи. Функция удвоения” связывает число 14 с числом 7, но она ничего не делает с числом 7. Функции – это не процессы, а объекты в математической сфере. Студент, который не до конца понял и усвоил это, у которого в основе концепции функции лежит процесс, будет испытывать трудности в исчислении, где функции очень определенно рассматриваются как объекты, с которыми вы что-то делаете – по крайней мере, иногда вы что-то с ними делаете; чаще вы применяете к ним другие функции, так что никаких действий нет, просто больше отношений. Обратите внимание, что я не утверждаю, как и Лерон, что эти студенты не понимают разницы между двумя альтернативными возможными понятиями функции, или что они не

Это не тривиальный вопрос. Как математики узнали на протяжении многих веков, определения имеют значение. Тонкие различия имеют значение. Концепции имеют значение. Правильная концепция имеет значение. Если вы внесете небольшое изменение в одно из правил игры в шахматы, вы получите другую игру, и то же самое происходит в игре (основанной на правилах), которую мы называем математикой. В обоих случаях альтернативная игра, скорее всего, будет неинтересной и бесполезной.

Итак, мы выбрали тему в учебной программе по математике – функции – и обнаружили, что многие люди – я подозреваю, что большинство людей – имеют “неправильное” представление о функции. Но “неправильное” здесь означает, что это не то понятие, которое используют математики (в исчислении и всем, что на нем основано, что охватывает большую часть науки и техники, так что мы не говорим о чем-то, что в значительной степени не имеет значения). Действительно ли это проблема, если большинство граждан думают о функциях как о процессах? Ну, это проблема, которую им придется преодолеть, если они хотят стать учеными, инженерами или кем-то еще, а как показали исследования Лерона и подобные им, изменить базовую концепцию после того, как она была приобретена, усвоена и усвоена, не так-то просто. Но как насчет остальных? Те, кто не ходит в университет и не изучает научные дисциплины.

Ну, для большинства людей неправильное понятие функции не является проблемой, но понятие функции было просто примером. Мы так и не ответили на первоначальный вопрос: Где заканчивается математика, “абстрагированная от повседневного опыта и разработанная с помощью итерационных метафор”, и начинается “математика, основанная на правилах, которую нужно доводить до ума”?

Что, если математика, которую необходимо освоить, включает в себя действительные числа? Что если она включает отрицательные целые числа? Что если она включает в себя понятие умножения (тема трех моих последних колонок)? Что если обучение умножению как повторению сложения (см. предыдущие колонки) или знакомство с отрицательными числами с помощью повседневной (явной) метафоры (например, долг денег) приводит к формированию неправильной концепции, которая впоследствии вызывает дополнительные трудности, когда ребенку нужно двигаться дальше в математике?

Даже если проблема существует где-то в глубине образовательной линии, можем ли мы что-нибудь с этим поделать? Есть ли альтернатива использованию подхода “абстрагируйся от повседневного опыта”, который мы в США принимаем как единственный способ обоснования математики в К-8? Действительно ли это единственный способ обучения детей младшего возраста? И если не единственный, то лучший ли это способ, учитывая цель – продвинуть как можно больше детей как можно дальше по математическому пути?

Возможно, самый последний и, возможно, самый поразительный вопрос: Применимы ли слова Кронекера, когда речь идет о математическом образовании? Является ли начало со счета чисел единственным или лучшим способом обучения математике маленьких детей в современном мире?

Ответы на эти вопросы будут в центре внимания колонки в следующем месяце (где я также буду верен своему обещанию вернуться к геометрии и комплексным числам в математике).

И нет, я не собираюсь отстаивать ту или иную философию математического образования. Как я уже неоднократно заявлял, у меня нет ни образования, ни опыта в области начального математического образования. Но я могу читать и читаю слова тех, кто обладает таким опытом. По крайней мере, один другой подход был разработан в других странах мира людьми, обладающими вышеупомянутыми необходимыми знаниями и опытом, и есть некоторые свидетельства в пользу того, что эта альтернатива может быть лучше, чем та, которую мы используем здесь. Я говорю “может быть лучше”, обратите внимание. Доказательства хороши, но пока их недостаточно, и, как всегда, интерпретировать экспериментальные результаты в образовании непросто. Но я воспринимаю имеющиеся данные как свидетельство того, что нам следует, по крайней мере, обсудить и оценить этот альтернативный подход, даже если мы начинаем скептически относиться к тому, к чему он может привести. Однако, насколько я могу судить, сообщество математического образования в США до сих пор вело себя так, как будто этого другого подхода просто не существует. Это, конечно, может быть вызвано, говоря словами тюремного надзирателя из классического фильма Пола Ньюмана 1967 года “Крутая рука Люка”, неумением общаться. (Либо между одной частью мира и другой, либо между нашим сообществом преподавателей математики и остальными). Если это так, то моя цель – попытаться это исправить. Угол Девлина обновляется в начале каждого месяца. Последняя книга Девлина – “Неоконченная игра: Pascal, Fermat, and the Seventeenth-Century Letter that Made the World Modern, опубликованная издательством Basic Books.

Математик Кит Девлин (электронная почта: [email protected] ) является исполнительным директором Института перспективных исследований в области наук о человеке и технологий (H-STAR) Стэнфордского университета и “математиком” в программе Weekend Edition на NPR.