Выбери свое собственное математическое приключение

Достаточно хороший ускоренный курс математики для бакалавриата, отфильтрованный для 21 века.

• Навыки алгебры
• Написание доказательств в Lean
• Матричное исчисление

Начать вариант 1

Вариант 2 SciML Performance Engineering

Исследовательский проект в области непрерывной динамики, численной линейной алгебры, линейной аппроксимации, вероятностного программирования, моделирования неопределенности и нейронных сетей.

MIT
• Имеет записи лекций на YouTube
• Проектирование производительности крупномасштабного научного моделирования
• Используется язык Julia, который легко освоить, если вы уже программировали раньше.
• Применение в финансах, медицине, НАСА, в любой модели системы, где данные изменяются во времени.

Речь идет о высокопроизводительных параллельных вычислениях, на которых ученые запускают безумно сложные модели, такие как космологические симуляции, ускоряемые нейронными сетями с учетом физики. Этот курс научит нас оптимизировать все это и, как побочный эффект, оптимизировать любой высокоуровневый код. Мы также изучим все инструменты разработки, такие как VSCode, Git, создание пакетов, профилировщики кода, вывод типа компилятора, множество тем.

Начните вариант 2

Вариант 3: Создать терминатор

Вы можете сделать это с помощью телефона.

MIT
• Алгоритмы для ходьбы, бега, плавания, полета и манипуляций
• Записанные лекции на YouTube
• Задания выполняются онлайн на языке Python с помощью deepnote.
• Полезно для программирования/анализа любой системы с непрерывными переменными в контуре обратной связи

Недоактуализация означает, что вы не сохраняете полную власть контроля в любое время, вы используете естественную динамику.

Начните вариант 3 здесь

Вариант 4: Вычислительная геометрия

Геометрия – это инструмент для выполнения математических расчетов, как основа, которой можно манипулировать визуально.

UIUC
• Имеет записанные лекции
• Следит за книгой “Вычислительная геометрия: Алгоритмы и приложения
  • Каждая глава представляет проблему, преобразует ее в геометрическую задачу, затем решает ее.
  • Мы также занимаемся по книге “Математика через задачи: Геометрия, чтобы выучить всю геометрию, которую мы пропустили, когда росли в Северной Америке, где ее больше не преподают.

  Курс по структуре данных и проектированию алгоритмов с теми же традиционными темами, такими как динамическое программирование, линейное программирование, графы и деревья, за исключением того, что вы можете проектировать все это визуально и доказывать с помощью геометрии. Данными обычно управляют как наборами чисел, которые вы интерпретируете как точки на трехмерной поверхности.

  Начните вариант 4 здесь

  Рисунок 2: Геометрия математических финансов uni.lu

  Геометрия и Исаак Ньютон

  Для развлечения на тему геометрии попробуйте прочитать “Исаак Ньютон о математической определенности и методе” Никколо Гиччардини, пока вы будете решать задачи по геометрии. Ньютон утверждал, что геометрический синтез помог ему сделать математические открытия при написании Principia, выполнив геометрический синтез причины для доказательства следствий, которые он наблюдал с помощью анализа.

  Исаак Ньютон поступил в Тринити-колледж в 1661 году в качестве субсизара, что означало субсидированное обучение в обмен на неоплачиваемую работу в кампусе. Кембридж тогда был просто фабрикой дипломов, там редко читали лекции, и стипендиаты (аспиранты) устраивались на работу в качестве репетиторов, чтобы пополнить свой доход. Получение диплома бакалавра заключалось в том, что один из таких наставников давал вам список книг для чтения. Согласно его записной книжке Тринити-колледжа, которая до сих пор хранится в Кембридже, это был большой список для чтения греческой и римской классики на латыни: “Органон” и “Метафизика” Аристотеля, “Исагога” Порфирия, Платон и рукописи комментариев к Аристотелю, обычно написанные другими стипендиатами для продажи студентам. Это произошло благодаря восстановлению Аристотеля в средние века, которое определило курсы логики на следующие несколько столетий. Ньютон не читал почти ничего из Аристотеля или книг, которые ему задавали, но позже он утверждал, что прочитал достаточно, чтобы научиться правильно классифицировать проблему, логически мыслить, а позже, когда он написал Principia, – использовать причину для доказательства следствия. В его лекциях по алгебре, которые позже стали книгой Arithmetica Universalis, описывались различные “виды”, то есть аристотелевские категории математических объектов, которые могут быть объединены вместе, по сути, он описывал типы.

  Согласно записным книжкам Ньютона и записям его близкого друга ДеМойвра, вот как Ньютон изучал математику. Прогуливаясь по городской ярмарке в 1663 году, он натыкается на книгу по астрологии и из любопытства покупает ее, поскольку Ньютон всегда увлекался алхимией и другими оккультными темами. В книге есть тригонометрия, которую он не понимает, поэтому он отправляется на математический факультет Кембриджа, чтобы найти книги по тригонометрии, но обнаруживает, что все там глубоко погружены в работы Декарта. Они дают ему Евклида и “Клавис” Оутреда. Он перечитывает “Элементы” Евклида после того, как бросил читать их раньше, и видит доказательство теоремы Пифагора, которое вызывает у него желание прочитать остальной текст. Записные книжки Ньютона в колледже показывают, что на него повлияли книги II (геометрическая алгебра), V (пропорции), VII (теория чисел) и X (иррациональности) и что Евклид научил его писать доказательства, а система логики Аристотеля, которую он изучал, дала ему строгое мышление, чтобы он мог следить за доказательствами.

  Поскольку его кембриджский диплом – это, по сути, шутка, а школа настолько распущена, что никому нет дела до того, чем ты занимаешься, он оставляет официальную программу обучения до конца бакалавриата, чтобы поболтаться по математическому факультету. Он берется за книгу Кеплера и Оутреда, пишет, что понимает ее, за исключением квадратных и кубических уравнений, однако в своих заметках делает вывод, что алгебру можно использовать для исследования, что он и начинает делать, выписывая сотни примеров. В 1665 году он получает степень бакалавра, несмотря на то, что так и не закончил ни одной из официальных учебных программ, и ему предлагают избрать его в качестве младшего товарища для получения степени магистра, но школа закрывается из-за чумы летом 1665 года.

  Рисунок 3: Декартова геометрия Ван Шутена rar

  Он возвращается домой на семейную ферму и берет с собой двухтомный латинский перевод “Геометрии Декарта” 1659 года, выполненный ван Шутеном, с приложениями и комментариями других математиков-исследователей Декарта. Позже Ньютон напишет в своей школьной тетради, как доказательство Худде для оценки наклона с помощью касательной в приложении научило его преобразовывать один тип задач в другой, чтобы изучать их по-другому. Эта книга считалась очень трудным текстом и уровнем техники анализа XVII века, в котором используются почти те же обозначения, что и сегодня. Он прочитал 10 страниц или около того, не смог понять текст и перечитал с самого начала. Прошел немного дальше, затем снова остановился и вернулся к началу. Он повторяет этот алгоритм все лето и осень, пока, наконец, не дочитает весь текст до конца. Он неправильно понимает прием Декарта в свою пользу, когда думает, что Декарт намекает на то, что читатель может вычислить любые свойства кривой, и, пытаясь сделать это в качестве упражнения, развивает свой собственный сложный анализ, выходящий далеко за рамки книги или любой другой книги того времени. В этот период он начал работать по 18 часов в день, 7 дней в неделю. Он не прекратил эту трудовую этику до самой смерти, даже после того, как стал богатым и жил в Лондоне.

  Зимой 1665 года он читает “Arithmetica Infinitorum” Уоллиса, которая представляет собой арифметику бесконечно малых, и “Opera Mathematica” Виета, еще одну большую книгу. Менее чем за целый год Ньютону удалось самостоятельно привести себя в соответствие со всеми достижениями математики середины XVII века. Он открывает обобщенную биномиальную теорему и анализ бесконечных рядов, которые, как он утверждал, изобрел для поиска кратчайших путей в вычислениях. В 1666 году он ненадолго возвращается в Кембридж, прежде чем он снова закрывается из-за чумы, и его записи показывают, что он закончил дифференциальное и интегральное исчисление за эти несколько месяцев в школе.

  Описывая свою деятельность во время второго чумного года, он пишет следующее: “Мне стыдно сказать, в какое количество мест я переносил эти вычисления, не имея в то время других дел, ибо тогда я действительно слишком увлекался этими изобретениями”. Он сохранил записи о вычислении логарифма до 52-го знака после запятой. В 1667 году он возвращается в Кембридж, где одержим идеей раскрыть древний анализ, используемый в классической геометрии. Книга 7 Паппуса содержит комментарий о потерянной группе инструментов и предложений, которые использовали Евклид, Аполлоний, Эратосфен и другие геометры того времени и которые Паппус называл “сокровищницей анализа”. Эти потерянные поризмы (королларии), по предположению Ньютона, являются проективной геометрией.

  Ньютон в своих лекциях на кафедре Лукаса говорил, что древние никогда бы не стали вводить алгебру кривых в геометрию, потому что теряется простота работы в рамках геометрии, поскольку весь ее смысл заключался в том, чтобы избежать утомительных вычислений, просто рисуя линии и окружности. Он также утверждает, что такие книги, как “Collectio” Паппуса, намеренно скрывали анализ, поскольку он считался

  В “Arithmetica Universalis”, которая является неавторизованной книгой, выпущенной его преемником в Кембридже, обнаружившим в библиотеке луказианские лекции Ньютона и опубликовавшим их как есть, Ньютон пишет, что попытки Декарта включить в стандартную геометрию плоскости различные кривые, такие как параболы, не просто пустая трата времени, они “разрушают простоту геометрии”. На рисунке 108 он показывает, как бы он решил эту проблему, переосмыслив эллипс, утверждая, что картезианские методы не понимают смысла делать все с помощью линейки и компаса.

  Позже он написал в рукописи по геометрии, что механика движения – это то, что порождает всю геометрию, и что древние тоже понимали это, представляя геометрические объекты как порожденные движением вдоль прямой, окружностями через движение компаса или переводом, как в предложении 4 книги 1 “Элементов” Евклида, где одна форма треугольника перемещается для сравнения с другой. Затем он продемонстрировал, что вращение линейки на самом деле является преобразованием плоскости, что не было официально разработано другими математиками еще 200 лет. Вот как Ньютон использовал свою вращающуюся линейку для построения степенного ряда.

  Ньютон придумал концепцию современных пределов с использованием эпсилонов (очень малых величин) во время написания “Principia” на этапе геометрического синтеза его анализа бесконечно малых. Он решил, что пределы, демонстрируемые как геометрические исчезающие дополнения, “более соответствуют геометрии древних, поскольку не нужно вводить в геометрию бесконечно малые фигуры”. Поскольку анализ бесконечно малых был для него всего лишь эвристическим инструментом, он низвел бесконечно малые (которые все равно не имели установленной теории или доказательств), чтобы предпочесть свой новый метод доказательства пределов, который он вывел из синтеза геометрии, и который очень похож на то, что все сегодня используют в современных курсах исчисления.

  “Сравнивая сегодня тексты Ньютона с комментариями его преемников, поражаешься, насколько оригинальное изложение Ньютона современнее, понятнее и богаче идеями, чем перевод благодаря комментаторам его геометрических идей на формальный язык исчисления Лейбница” -Владимир Арнольд 1990 г.

  Геометрическая вероятность

  Есть книга Cut The Knot, в которой есть глава о решении проблем вероятности в непрерывном пространстве выборок путем признания того, что проблема или решение могут быть представлены с помощью геометрии.

  Какова вероятность того, что сумма трех случайно взятых действительных чисел в интервале от 0 до 1 меньше 1? Решение признает, что три числа могут быть точками в трехмерном пространстве и образовывать пирамиду. Опускание куба объемом 1 на интервал дает необходимое распределение, где по определению сумма должна быть равна 1. Теперь возьмите объем пирамиды – это и есть ответ. Просто и интуитивно понятно.

  Похожие записи:

  1. Вспоминая Джека Рэндалла
  2. MH Mag Фитнес
  3. Вы не можете рисовать, потому что делаете это неправильно
  4. The Docker Handbook – Изучение Docker для начинающих