«Гола статистика» — найцікавіша книга про нудною науці
Хто сказав, що статистика — сумна і даремна наука? Чарльз Вілан (Charles Wheelan) переконливо доводить, що це далеко не так. Сьогодні публікуємо уривок з його книги про те, як з допомогою статистики виграти автомобіль, а не цапа, і зрозуміти, що інтуїція здатна ввести вас в оману.
Загадка Монті Холла
«Загадка Монті Холла» — знаменита завдання з теорії ймовірностей, яка поставила в безвихідь учасників ігрового шоу під назвою let’s Make a Deal («Підпишемо угоду»), досі популярного в ряді країн, прем’єра якого відбулася в Сполучених Штатах в 1963 році. (Пам’ятаю, я всякий раз дивився це шоу в дитинстві, коли не ходив у школу через хворобу.) У вступі до книги я вже вказував, що в цьому ігровому шоу може бути цікаво для статистиків. У кінці кожного його випуску учасник, хто дістався до фіналу, ставав разом з Монті Холом перед трьома великими дверима: Дверима № 1, Дверима № 2 і Дверима № 3. Монті Хол пояснював фіналісту, що за однією з цих дверей ховається дуже цінний приз — наприклад новий автомобіль, а за двома іншими — козел. Фіналіст повинен був вибрати одну з дверей і отримати те, що за нею знаходилося. (Я не знаю, чи був серед учасників шоу хоча б одна людина, бажаючий отримати козла, але для простоти міркувань будемо вважати, що переважна більшість учасників мріяли про новий автомобіль.)
Початкову ймовірність виграшу визначити досить просто. Є три двері, за двома ховається козел, а за третьою — автомобіль. Коли учасник шоу разом з Монті Холом стоїть перед цими дверима, у нього є один шанс із трьох вибрати двері, за якими знаходиться автомобіль. Але, як зазначалося вище, у let’s Make a Deal криється підступ, увічнив цю телепрограму та її ведучого в літературі з теорії ймовірностей. Після того як фіналіст шоу вкаже на якусь з трьох дверей, Монті Хол відкриває одну з двох, що залишилися дверей, за якою завжди знаходиться козел. Потім Монті Хол запитує фіналіста, чи не бажає він змінити своє рішення, тобто відмовитися від раніше обраної ним зачинених дверей на користь іншої закритій двері.
Припустимо, заради прикладу, що учасник вказав на Двері № 1. Потім Монті Холл відкрив Двері № 3, за якою ховався козел. Дві двері, Двері № 1 і Двері № 2, як і раніше залишаються закритими. Якби цінний приз знаходився за Дверима № 1, фіналіст виграв би його, а якщо за Дверима № 2, то програв би. Саме в цей момент Монті Хол звертається до гравця з питанням, чи не бажає він змінити свій первісний вибір (в даному випадку відмовитися від Дверей № 1 на користь Двері № 2). Ви, звичайно, пам’ятаєте, що обидві двері поки закриті. Єдина нова інформація, яку учасник отримав, полягає в тому, що козел опинився за однією з двох дверей, які він не вибрав.
Слід фіналісту відмовитися від початкового вибору на користь Двері № 2?
Відповідаю: так, треба. Якщо він буде дотримуватися початкового вибору, то ймовірність виграшу їм цінного призу складе ?; якщо ж передумає і вкаже на Двері № 2, то ймовірність виграшу цінного призу ?. Якщо не вірите мені, читайте далі.
Визнаю, що такий відповідь на перший погляд далеко не очевидний. Здається, що, яку б із двох дверей вибрав фіналіст, ймовірність отримання цінного призу в обох випадках дорівнює ?. Є три закриті двері. Спочатку ймовірність того, що цінний приз ховається за будь-який з них, становить ?. Хіба має якесь значення рішення фіналіста поміняти свій вибір на користь іншої закритій двері?
Безумовно, оскільки заковика полягає в тому, що Монті Хол знає, що знаходиться за кожною дверима. Якщо фіналіст вибере Двері № 1 і за нею дійсно буде автомобіль, то Монті Хол може відкрити Двері № 2, Двері № 3, щоб продемонструвати козла, що ховається за нею.
Якщо фіналіст вибере Двері № 1, а автомобіль буде за Дверима № 2, то Монті Хол відкриє Двері № 3.
Якщо ж фіналіст вкаже на Двері № 1, а автомобіль виявиться за Дверима № 3, то Монті Хол відкриє Двері № 2.
Змінивши своє рішення після того, як ведучий відкриє якусь з дверей, фіналіст отримує перевагу вибору двох дверей замість однієї. Я спробую переконати вас у правильності цього аналізу трьома різними способами.
Перший — емпіричний. У 2008 році колумніст газети The New York Times Джон Тайерни написав матеріал про «феномен Монті Холла». Після цього співробітники видання розробили інтерактивну програму, яка дозволяє вам зіграти в цю гру і самостійно прийняти рішення, змінювати свій первісний вибір чи ні. (В програмі навіть передбачені маленькі козлики і автомобільчики, які з’являються з-за дверей.) Програма фіксує ваші виграші у разі, коли ви міняєте свій первісний вибір, і у випадку, коли залишаєтеся при своїй думці. Я заплатив одній зі своїх дочок за те, щоб вона зіграла в цю гру 100 разів, щоразу змінюючи початковий вибір. Я також заплатив її братові, щоб він теж зіграв в цю гру 100 разів, кожен раз залишаючи первісне рішення. Дочка виграла 72 рази; її брат — 33 рази. Зусилля кожного були винагороджені двома доларами.
Дані з епізодів гри let’s Make a Deal свідчать про такий же закономірності. Згідно Леонарду Млодинову, автору книги The drunkard’s Walk, ті з фіналістів, хто змінив свій первісний вибір, ставали переможцями приблизно в два рази частіше, ніж ті, хто залишався при своїй думці.
Моє друге пояснення цього феномена грунтується на інтуїції. Припустимо, правила гри злегка змінилися. Наприклад, фіналіст починає з вибору однієї з трьох дверей: Двері № 1, Двері № 2 та Двері № 3, як і було передбачено спочатку. Однак потім, перш ніж відкрити якусь з дверей, за якою ховається козел, Монті Хол запитує: «чи Згодні ви відмовитися від свого вибору в обмін на відкриття двох дверей?» Таким чином, якщо ви вибрали Двері № 1, ви можете передумати на користь Двері № 2 та Двері № 3. Якщо спершу вказали на Двері № 3, можете вибрати Двері № 1 і Двері № 2. І так далі.
Для вас це було б не особливо важким рішенням: абсолютно очевидно, що вам слід відмовитися від початкового вибору на користь двох дверей, оскільки це підвищує шанси на виграш з ? до ?. Найцікавіше, що саме такий по суті варіант пропонує вам Монті Хол в реальній грі, після того, як відкриє двері, за якими ховається козел. Принциповий факт полягає в тому, що якщо б вам була надана можливість вибрати двоє дверей, за однією з них у будь-якому випадку ховався б козел. Коли Монті Хол відкриває двері, за якими знаходиться козел, і тільки після цього запитує вас, чи ви згідні змінити свій первісний вибір, він суттєво підвищує ваші шанси на виграш цінного призу! По суті, Монті Хол говорить вам: «Вірогідність того, що цінний приз ховається за однією з двох дверей, які ви не вибрали з першого разу, становить ?, а це все-таки більше, ніж ?!»
Це можна уявити собі так. Припустимо, ви вказали на Двері № 1. Після цього Монті Хол дає вам можливість відмовитися від початкового рішення на користь Двері № 2 та Двері № 3. Ви погоджуєтеся та отримуєте в своє розпорядження дві двері, а це означає, що у вас є всі підстави розраховувати на виграш цінного призу з імовірністю ?, а не ?. А що було б, якби в цей момент Монті Холл відкрив Двері № 3 — одну з «ваших дверей, — і за нею виявився б козел? Похитнув би цей факт вашу впевненість у прийнятому рішенні? Звичайно ж ні. Якщо б автомобіль ховався за Дверима № 3, Монті Холл відкрив би Двері № 2! Він нічого не показав.
Коли гра йде за накатаним сценарієм, Монті Хол дійсно надає вам вибір між дверима, яку ви вказали спочатку, і рештою двома дверима, за однією з яких може перебувати автомобіль. Коли Монті Хол відкриває двері, за якими ховається козел, він просто надає вам люб’язність, демонструючи, за якою з двох інших дверей немає автомобіля. Ви маєте однаковими ймовірностями виграшу в обох з зазначених нижче сценаріїв.
Вибір Дверей № 1, потім згода «переключитися» на Двері № 2 і Двері № 3 ще до того, як буде відкрита якась двері.
Вибір Дверей № 1, потім згода «переключитися» на Двері № 2, після того як Монті Хол продемонструє вам цапа за Дверима № 3 (або вибір Дверей № 3, після того як Монті Хол продемонструє вам цапа за Дверима № 2).
В обох випадках відмова від початкового рішення забезпечує вам перевага двох дверей порівняно з однієї, і ви можете таким чином подвоїти свої шанси на виграш: з ? до ?.
Мій третій варіант являє собою більш радикальну версію тієї ж базової інтуїції. Припустимо, Монті Холл пропонує вам вибрати одну з 100 дверей (замість однієї з трьох). Після того як ви це зробите, скажімо, вказавши на Двері № 47, він відкриває 98 залишилися дверей, за якими виявляються козли. Тепер закритими залишаються лише дві двері: ваша Двері № 47 і ще одна, наприклад Двері № 61. Чи слід вам відмовитися від свого початкового вибору?
Звісно так! З 99-відсотковою ймовірністю автомобіль знаходиться за однією з дверей, які ви не вибрали спочатку. Монті Хол надав вам люб’язність, відкривши 98 таких дверей, за ними автомобіля не було. Таким чином, існує лише 1 з 100 шансів, що ваш початковий вибір (Двері № 47) буде правильним. У той же час існує 99 з 100 шансів, що ваш первісний вибір неправильний. А якщо так, то автомобіль знаходиться залишилася за дверима, тобто Дверима № 61. Якщо ви хочете зіграти з можливістю виграшу в 99 випадках з 100, то вам слід «переключитися» на Двері № 61.
Коротше кажучи, якщо вам коли-небудь доведеться брати участь в грі let’s Make a Deal, вам, безумовно, потрібно відмовитися від свого початкового рішення, коли Монті Хол (або той, хто буде його заміщати) надасть вам можливість вибору. Більш універсальний висновок з цього прикладу полягає в тому, що ваші інтуїтивні здогади щодо ймовірності настання тих чи інших подій можуть часом вводити вас в оману.
«Гола статистика», Чарльз Уїлан
Купити Litres.ru