5.2 Решайте прикладные задачи: Соотношения синуса, косинуса и тангенса.

Теперь, когда мы знаем основы алгебры и геометрии, связанные с правильным треугольником, мы можем приступить к изучению тригонометрии. Многие проблемы реальной жизни могут быть представлены и решены с помощью тригонометрии прямого угла.

Соотношения синуса, косинуса и тангенса

Мы знаем, что любой правильный треугольник имеет три стороны и прямой угол. Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Два других угла в прямом треугольнике – острые углы (их величина меньше 90 градусов). Один из этих углов мы называем базовым углом и обозначаем его θ (тэта).

Гипотенуза – это всегда самая длинная сторона правильного треугольника. Две другие стороны называются противоположной и смежной. Названия этих сторон зависят от того, какой из двух острых углов используется в качестве опорного.

Рисунок 1.

В правильном треугольнике каждая сторона обозначена строчной буквой, соответствующей заглавной букве противоположной вершины.

Обозначьте стороны треугольника и найдите гипотенузу, противоположную и смежную стороны.

Решение

Мы обозначили стороны строчной буквой, соответствующей заглавной букве противоположной вершины.

c – гипотенуза

Обозначьте стороны треугольника и найдите гипотенузу, противоположную и смежную.

y – гипотенуза

Тригонометрические соотношения

Тригонометрические соотношения – это соотношения сторон в правильном треугольнике. Для любого правильного треугольника можно определить три основных тригонометрических соотношения: синус, косинус и тангенс.

Давайте обратимся к рисунку 1 и определим три основных тригонометрических коэффициента:

Три основных тригонометрических соотношения

Где θ – мера исходного угла, измеряемая в градусах.

Очень часто мы используем сокращения для обозначения коэффициентов синуса, косинуса и тангенса.

Некоторые люди помнят определение тригонометрических коэффициентов как SOH CAH TOA.

Давайте воспользуемся примером 1 и найдем эти три коэффициента.

Для данного треугольника найдите отношение синуса, косинуса и тангенса.

Решение

sin θ =

cos θ =

tan θ =

Для данного треугольника найдите отношение синуса, косинуса и тангенса.

sin θ =

cos θ =

tan θ =

В примере 2 нашими опорными углами могут быть или . Используя определение тригонометрических соотношений, мы можем написать sinE = , cosE = , и tanE = .

При вычислениях мы обычно округляем коэффициенты до четырех знаков после запятой, а в конце наш окончательный ответ – до одного знака после запятой, если не указано иное.

Для заданного треугольника найдите коэффициенты синуса, косинуса и тангенса. При необходимости округлите до четырех знаков после запятой.

Решение

У нас есть два возможных базовых угла: R и S.

Используя определения, найдите тригонометрические коэффициенты для угла R:

Используя определения, найдите тригонометрические коэффициенты для угла S:

Для данного треугольника найдите коэффициенты синуса, косинуса и тангенса. При необходимости округлите до четырех d

б) С помощью калькулятора найдите, что cos 45° = 0,7071 Округлите до 4 десятичных знаков.

c) С помощью калькулятора найдите tan 60° = 1,7321 с округлением до 4 знаков после запятой.

Решение

a) sin 60° = 0,8660

b) cos 30° = 0,8660

Нахождение недостающих сторон правильного треугольника

В этом разделе вы будете использовать тригонометрические соотношения для решения задач на правильный треугольник. Мы адаптируем нашу стратегию решения задач для применения в тригонометрии. Кроме того, поскольку в этих задачах будет задействован правильный треугольник, полезно нарисовать его (если чертеж не дан) и обозначить заданной информацией. Мы включим это в первый шаг стратегии решения задач по тригонометрии.

КАК: решать задачи по тригонометрии

Прочитайте задачу и убедитесь, что все слова и идеи понятны. Нарисуйте правильный треугольник и обозначьте его части.

Определите, что мы ищем.

Обозначьте искомое, выбрав переменную для его обозначения.

Найдите требуемое тригонометрическое соотношение.

Решите соотношение, используя приемы алгебры.

1. Проверьте ответ, подставив его обратно в соотношение, полученное на шаге 4, и убедившись, что он имеет смысл в контексте задачи.
2. Ответьте на вопрос полным предложением.
3. В следующих примерах, задав меру одного острого угла и длину одной стороны прямоугольного треугольника, мы решим прямой треугольник по недостающим сторонам.
4. Найдите недостающие стороны. Округлите ваш окончательный ответ до двух знаков после запятой
5. Решение
6. Найдите недостающие стороны. Округлите окончательный ответ до одного десятичного знака.
7. Найдите гипотенузу. Округлите свой окончательный ответ до одного десятичного знака.

Решение

Найдите гипотенузу. Округлите свой окончательный ответ до одного десятичного знака.

Решение

Иногда в прямоугольном треугольнике заданы только стороны. Как найти недостающие углы? Чтобы найти недостающие углы, мы используем обратные тригонометрические коэффициенты. Кнопки обратных соотношений si n-1, co s-1 и ta n-1 находятся на вашем научном калькуляторе.

Найдите углы. Округлите окончательный ответ до одного десятичного знака.

Решение

Найдите углы. Округлите окончательный ответ до одного десятичного знака.

Используйте калькулятор и нажмите 2-ю клавишу FUNCTION, а затем нажмите клавишу SIN, COS или TAN.

= 30°

b) B = co s-1 0,9735

= 13,2° Округление до одного десятичного знака

Решение

= 70,9° С округлением до десятичного знака

Найдите углы. Округлите окончательный ответ до одного десятичного знака.

c) tan Z = 1,676767

a) = 90°

b) = 68°

c) = 59.2°

b) B = co s-1 0,9735

Найдите недостающие углы. Округлите окончательный ответ до одного десятичного знака.

Решение

Найдите недостающий угол X. Округлите свой окончательный ответ до одного знака после запятой.

Найдите недостающий угол A. Округлите свой окончательный ответ до одного знака после запятой.

Решение

Найдите недостающий угол C. Округлите свой окончательный ответ до одного десятичного знака.

Решение

Из предыдущего раздела мы знаем, что любой треугольник

= 90°

Решение

Решение

f = квадратный корень из 65

Недостающий угол F = 180° – 90° – 26,39° = 63,64°.

Мы решили прямой треугольник

Решение

= 90°

= 63.61°

Решите прямой треугольник. Округлите до одного десятичного знака.

= 29.3°

= 90°

Решите прямой треугольник. Округлите до одного десятичного знака.

Решение задач с использованием тригонометрических соотношений

Мы решили прямой треугольник

Многие приложения тригонометрических соотношений связаны с пониманием угла возвышения или угла падения.

Угол возвышения – это угол между горизонтальной линией (землей) и линией зрения наблюдателя.

Решение задач с использованием тригонометрических соотношений

Джеймс стоит на расстоянии 31 метра от основания Центра гавани в Ванкувере. Он смотрит на вершину здания под углом 78°. Какова высота Harbour Centre?

Решение

Марта стоит на расстоянии 23 метров от основания самого высокого многоквартирного дома в Принс-Джордже и смотрит на вершину здания под углом 62°. Какова высота здания?

Томас стоит на вершине здания высотой 45 метров и смотрит на своего друга, который стоит на земле в 22 метрах от основания здания. Каков угол падения?

= 29.3°

Хемант стоит на вершине скалы на высоте 250 футов над землей и смотрит на своего друга, который стоит на земле в 40 футах от основания скалы. Каков угол депрессии?

Решение задач с использованием тригонометрических соотношений

5.2 Комплекс упражнений

Обозначьте стороны треугольника.

Обозначьте стороны треугольника и найдите гипотенузу, противоположную и смежную стороны.

Решение задач с использованием тригонометрических соотношений

Для заданных треугольников найдите синус, косинус и тангенс угла θ.

Для заданных треугольников найдите недостающую сторону. Округлите ее до одного десятичного знака.

Для данных треугольников найдите недостающие стороны. Округлите их до одного десятичного знака.

Решите треугольники. Округлите до одного десятичного знака.

Ким стоит в 75 метрах от подножия дерева и смотрит вверх на его вершину под углом 48°. Какова высота дерева?

Дерево создает тень длиной 6 метров, если угол наклона к солнцу составляет 52°. Какова высота дерева?

Лестница высотой 15 футов прислонена к дому и составляет с землей угол 45°. На каком расстоянии от дома находится основание лестницы?

Решение

Марта запускает воздушного змея и выпустила 28 метров нити. Если воздушный змей находится на высоте 10 метров над землей, каков угол возвышения?

Самолет взлетает с земли под углом 25°. Если самолет пролетел 200 километров, на какой высоте над землей он находится?

Решение

Атрибуция:

Эта глава была адаптирована из книги “Решение задач: Соотношения синуса, косинуса и тангенса” в “Вводной алгебре” Изабелы Мазур, которая находится под лицензией CC BY 4.0. Дополнительную информацию см. в Заявлении об адаптации.

Лицензия

Бизнес/Техническая математика” Изабелы Мазур и Кима Мощенко распространяется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License, если не указано иное.

Обозначьте стороны треугольника и найдите гипотенузу, противоположную и смежную.