Математика: Основные учебники : Основные тригонометрические соотношения

Тригонометрия правильного треугольника имеет множество практических применений. Например, умение вычислять длины сторон треугольника позволяет определить высоту высокого объекта, не забираясь на его вершину и не протягивая рулетку вдоль его высоты. В этом модуле мы рассмотрим основные тригонометрические соотношения и то, как их можно использовать для нахождения недостающих длин сторон или углов в правильном треугольнике.

Основы тригонометрии | Академия Хана

Нахождение стороны

Нахождение угла

Примеры и задания

Примеры

Нажмите на заголовки ниже, чтобы просмотреть каждый пример.

Пример 1

Мы знаем угол и противоположную сторону, поэтому с помощью касательной можем найти прилежащую сторону, b .

Подставьте данные значения в уравнение.

Решите уравнение для b .

Упростите и округлите свой ответ до ближайшей десятой.

Теперь мы можем использовать синус для нахождения гипотенузы. *Обратите внимание, что для решения третьей стороны можно также использовать теорему Пифагора.

Подставьте данные значения в уравнение.

Решите уравнение для c .

Запишите свой ответ.

Пример 1. Найдите длины недостающих сторон. При необходимости округлите окончательный ответ до ближайшей десятой.

Изображение: Треугольник ABC – прямой треугольник, угол C которого равен 90 градусов, а угол A – 30 градусов. Длина стороны a равна 7, а длины сторон b и c неизвестны.

Линия 1: Мы знаем угол и противоположную сторону, поэтому можем использовать тангенс для нахождения прилежащей стороны b. Тэта тангенса равна отношению противоположной стороны к прилежащей.

Линия 2: Подставьте данные значения в уравнение. Тангенс 30 градусов равен 7 на b.

Строка 3: Решите уравнение для b. b равно 7 по отношению к тангенсу 30 градусов.

Строка 4: Упростите и округлите ответ до ближайшей десятой. b равно 12,1.

Строка 5. Теперь мы можем использовать синус для нахождения гипотенузы, c. Обратите внимание, что для решения третьей стороны можно также использовать теорему Пифагора. Синус тэта равен отношению противоположной стороны к гипотенузе.

Линия 6. Подставьте данные значения в уравнение. Синус 30 градусов равен 7 на c.

Линия 7: Решите уравнение для c. c равно 7 через синус 30 градусов.

Строка 8: Упростите. c равно 14.

Строка 9: Запишите свой ответ. Длина ноги равна 12,1, а длина гипотенузы равна 14.

Пример 2

Нам известны противоположная и смежная стороны, поэтому мы можем использовать тангенс для нахождения меры угла A.

Подставьте данные значения в уравнение.

Решите уравнение для измерения угла A. Обратите внимание, что для решения угла нужно использовать обратный тангенс.

Упростите и округлите свой ответ до ближайшего градуса.

Запишите свой ответ.

Пример 2. Найдите меру угла A. Округлите свой ответ до ближайшего полного градуса.

Изображение: Треугольник ABC – правильный треугольник. Угол C равен 90 градусов, а угол A неизвестен и обозначен как A. Длина стороны a равна 10, а длина стороны len

Линия 4: Упростите и округлите свой ответ до ближайшего градуса. Мера угла A равна 68 градусам.

Строка 5. Запишите свой ответ. Мера угла A равна 68 градусов.

Пример 3

Нарисуйте схему ситуации. Нас просят найти сторону, прилежащую к углу 80°, поэтому пусть a=длина прилежащей стороны.

Мы знаем угол и гипотенузу, поэтому можем использовать косинус для нахождения стороны, прилежащей к углу.

Подставьте данные значения в уравнение.

Решите уравнение для a .

Упростите и округлите свой ответ до ближайшей десятой.

Подставьте данные значения в уравнение.

Пример 3. Лестница длиной 10 м прислонена к зданию так, что угол между землей и лестницей составляет 80 градусов. На каком расстоянии от здания находится основание лестницы? Округлите свой ответ до ближайшей десятой доли метра.

Упростите и округлите свой ответ до ближайшей десятой.

Запишите свой ответ.

Строка 3. Подставьте данные значения в уравнение. Косинус 80 градусов равен a на 10.

Строка 4: Решите уравнение для a. a равно 10 умножить на косинус 80 градусов.

Строка 5: Упростите и округлите ответ до ближайшей десятой. a равно 1,7.

Строка 6. Запишите свой ответ. Основание лестницы находится на расстоянии 1,7 метра от стены.

Деятельность

Попробуйте выполнить это задание, чтобы проверить свои навыки. Если у вас возникнут трудности, обратитесь за помощью к информации в модуле.